PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 6 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2007
Os times A, B, C, D e E disputaram, entre si, um torneio de futebol com as seguintes regras:
- o vencedor de uma partida ganha 3 pontos e o perdedor não ganha nada;
- em caso de empate cada um dos times ganha 1 ponto;
- cada time joga exatamente uma vez com cada um dos outros.
O campeão do torneio foi o time A, seguido na classificação por B, C, D e E, nessa ordem. Além disso
- o time A não empatou nenhuma partida;
- o time B não perdeu nenhuma partida;
- todos os times terminaram o torneio com números diferentes de pontos.
(a) O time A ganhou, perdeu ou empatou sua partida contra o time B? Por quê?
(b) Com quantos pontos o time A terminou o torneio? Por quê?
(c) Explique porque o time B obteve um número par de pontos nesse torneio.
(d) Na tabela, cada coluna representa uma partida. Sabendo que ocorreram exatamente 5 empates nesse torneio, desenhe, em cada coluna da tabela, um círculo em volta do nome do time ganhador ou em volta do \times, em caso de empate.
| A | A | A | A | B | B | B | C | C | D |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \times | \times | \times | \times | \times | \times | \times | \times | \times | \times |
| B | C | D | E | C | D | E | D | E | E |
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) O time A não empatou nenhuma partida, então contra B só pode ter ganhado ou perdido. Se A tivesse ganhado, B teria perdido, e isso contraria o enunciado. Logo, A perdeu para B.
Resposta: A perdeu para B, pois não podia empatar e B não perdeu nenhuma partida.
b) Como A não empata, cada jogo dele vale 3 ou 0 pontos. Então a pontuação de A é múltipla de 3. Ele perdeu para B e jogou mais 3 partidas, de modo que o máximo é 3\cdot 3=9 pontos.
O time B ganhou de A (3 pontos) e não perdeu as outras três partidas, ganhando pelo menos 1 ponto em cada uma. Então B tem pelo menos 3+3=6 pontos.
Como A foi o campeão, ele tem mais pontos que B, ou seja, mais de 6. Sendo múltiplo de 3 e no máximo 9, só resta 9.
Resposta: 9 pontos.
c) O time B ganhou de A e fez 3 pontos. Nas outras 3 partidas ele não perdeu: ganhou w e empatou d, com w+d=3.
A pontuação de B é
que é sempre par.
Resposta: B tem 6+2w pontos, onde w é o número de vitórias dele contra C, D e E. Esse número é par.
d) Já sabemos que B venceu A e que A venceu C, D e E, porque A tem 9 pontos. Nenhum dos 5 empates envolve A. Os 5 empates estão, portanto, entre os 6 jogos de B, C, D e E, e sobra um único jogo decisivo.
Se o jogo decisivo fosse de B, ele teria vencido (pois não perde). Os três jogos entre C, D e E seriam empates. Cada um deles teria 2 pontos desses empates. Dois dos três empatariam com B e teriam 3 pontos cada um, o que repetiria pontuação. Isso não é possível.
Logo, B empatou com C, D e E e tem 6 pontos. O jogo decisivo é entre C, D e E, e os outros dois jogos entre eles são empates.
Cada um dos três tem 1 ponto do empate com B e 0 do jogo contra A. Quem vence o jogo decisivo ganha 3+1 pontos dos jogos entre eles e fica com 5. Quem empata os dois jogos fica com 2+1=3. Quem perde fica com 1+1=2. Para que C>D>E, o jogo decisivo é C vencendo E, e D empata com C e com E. As pontuações são A=9, B=6, C=5, D=3 e E=2, todas diferentes.
Na tabela, circulamos:
- A\times B: círculo em B.
- A\times C, A\times D, A\times E: círculo em A.
- B\times C, B\times D, B\times E: círculo no \times.
- C\times D: círculo no \times.
- C\times E: círculo em C.
- D\times E: círculo no \times.
Resposta: círculos em B, A, A, A, \times, \times, \times, \times, C, \times (da esquerda para a direita).
Assunto: Lógica e raciocínio lógico.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2007 · Nível 1. Prova oficial ↗