PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 3 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2007
Os times A, B, C, D e E disputaram, entre si, um torneio de futebol com as seguintes regras:
- o vencedor de uma partida ganha 3 pontos e o perdedor não ganha nada;
- em caso de empate cada um dos times ganha 1 ponto;
- cada time joga exatamente uma vez com cada um dos outros.
O campeão do torneio foi o time A, seguido na classificação por B, C, D e E, nessa ordem. Além disso
- o time A não empatou nenhuma partida;
- o time B não perdeu nenhuma partida;
- todos os times terminaram o torneio com números diferentes de pontos.
(a) O time A ganhou, perdeu ou empatou sua partida contra o time B? Por quê?
(b) Com quantos pontos o time A terminou o torneio? Por quê?
(c) Explique porque o time B obteve um número par de pontos nesse torneio.
(d) Na tabela, cada coluna representa uma partida. Sabendo que ocorreram exatamente 5 empates nesse torneio, desenhe, em cada coluna da tabela, um círculo em volta do nome do time ganhador ou em volta do \times, em caso de empate.
| A | A | A | A | B | B | B | C | C | D |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \times | \times | \times | \times | \times | \times | \times | \times | \times | \times |
| B | C | D | E | C | D | E | D | E | E |
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) Se A tivesse vencido B, então B teria perdido, e isso é proibido. Se tivessem empatado, A teria empatado uma partida, e isso também é proibido. Sobra uma possibilidade: A perdeu para B.
Resposta: A perdeu para B.
b) Como A não empata, cada jogo dele vale 0 ou 3 pontos. Logo, o total de A é múltiplo de 3 e, por ter perdido para B, é no máximo 9 (vitórias nos outros três jogos).
B venceu A (3 pontos) e não perdeu nenhum dos outros três jogos, então ganhou pelo menos 1 ponto em cada um. Assim, B tem pelo menos 3+3=6 pontos.
Como A ficou à frente de B, A tem mais de 6 pontos. O único múltiplo de 3 possível é 9.
Resposta: A terminou com 9 pontos.
c) B jogou 4 partidas e não perdeu nenhuma. Sejam v o número de vitórias e e o de empates, com v+e=4. A pontuação é
que é sempre par.
Resposta: B fez 2v+4 pontos, que é um número par.
d) Pelo item (b), A venceu C, D e E e perdeu para B. Como A não empata, os 5 empates ocorreram entre B, C, D e E. Esses quatro times jogam 6 partidas entre si, então 5 são empates e 1 tem vencedor.
Os pontos ficam assim:
- C, D e E ganharam 0 contra A; B ganhou 3.
- Nas 3 partidas do grupo, um time que só empata soma 3 pontos.
- O vencedor da única partida decidida soma 3+1+1=5 pontos.
- O perdedor dessa partida soma 0+1+1=2 pontos.
- Os outros dois times somam 3 pontos cada.
Se nenhum dos dois times "só empatadores" fosse B, C, D e E teriam duas pontuações iguais a 3, o que é proibido. Então B é um deles e termina com 3+3=6 pontos. A classificação B>C>D>E exige que C seja o vencedor (5 pontos), D o outro empatador (3 pontos) e E o perdedor (2 pontos).
O resultado é: C venceu E e os demais jogos do grupo foram empates.
Totais: A=9, B=6, C=5, D=3, E=2. A soma é 25, que confere com 5\cdot 3+5\cdot 2=25.
Tabela, com o círculo na 1ª linha (vencedor) ou no \times (empate):
| A-B | A-C | A-D | A-E | B-C | B-D | B-E | C-D | C-E | D-E |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| B | A | A | A | \times | \times | \times | \times | C | \times |
Resposta: círculos em B, A, A, A, \times, \times, \times, \times, C, \times (nessa ordem, da esquerda para a direita).
Assunto: Lógica e raciocínio lógico.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2007 · Nível 3. Prova oficial ↗