PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 5 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2007
Os times A, B, C, D e E disputaram, entre si, um torneio de futebol com as seguintes regras:
- o vencedor de uma partida ganha 3 pontos e o perdedor não ganha nada;
- em caso de empate cada um dos times ganha 1 ponto;
- cada time joga exatamente uma vez com cada um dos outros.
O campeão do torneio foi o time A, seguido na classificação por B, C, D e E, nessa ordem. Além disso
- o time A não empatou nenhuma partida;
- o time B não perdeu nenhuma partida;
- todos os times terminaram o torneio com números diferentes de pontos.
(a) O time A ganhou, perdeu ou empatou sua partida contra o time B? Por quê?
(b) Com quantos pontos o time A terminou o torneio? Por quê?
(c) Explique porque o time B obteve um número par de pontos nesse torneio.
(d) Na tabela, cada coluna representa uma partida. Sabendo que ocorreram exatamente 5 empates nesse torneio, desenhe, em cada coluna da tabela, um círculo em volta do nome do time ganhador ou em volta do \times, em caso de empate.
| A | A | A | A | B | B | B | C | C | D |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \times | \times | \times | \times | \times | \times | \times | \times | \times | \times |
| B | C | D | E | C | D | E | D | E | E |
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Resolução comentada
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a) O time A não empatou nenhuma partida, então contra B ele ganhou ou perdeu. Se A tivesse ganhado, B teria perdido, e B não perdeu nenhuma. Logo A perdeu para B.
b) A jogou 4 partidas e não empatou nenhuma. Seus pontos vêm só de vitórias, de 3 em 3, então o total é múltiplo de 3. Como A perdeu para B, ele ganhou no máximo 3 jogos, ou seja, fez no máximo 9 pontos.
O time B ganhou de A (3 pontos) e não perdeu as outras 3 partidas, então empatou ou ganhou cada uma. Assim B tem pelo menos 3+1+1+1=6 pontos.
Como A ficou à frente de B, temos A>6. O único múltiplo de 3 maior que 6 e no máximo 9 é 9.
O time A terminou com 9 pontos (venceu C, D e E).
c) Seja w o número de vitórias de B e d o de empates. Como B não perdeu, w+d=4, e os pontos de B são
que é sempre par. Portanto B fez um número par de pontos. Como B<9 e B\ge 6, ele fez 6 ou 8 pontos.
d) São 10 jogos e 5 empates, então há 5 jogos com vencedor. Já conhecemos 4 deles: B venceu A, e A venceu C, D e E. Falta exatamente um jogo com vencedor, entre B, C, D e E. Todos os outros jogos entre esses quatro times são empates.
Se todos empatassem, C, D e E teriam 3 pontos cada, pois perderam de A e empataram 3 jogos. O jogo decisivo muda a pontuação: o vencedor passa de 1 para 3 pontos nesse jogo, e o perdedor passa de 1 para 0.
- Se o jogo decisivo envolve B, B vence. O perdedor fica com 2 pontos e os outros dois times ficam com 3, empatados, o que contraria o enunciado.
- Se o jogo decisivo é entre C, D e E, os pontos desses três são 5 (vencedor), 3 (quem não jogou) e 2 (perdedor). Como C>D>E, C fica com 5, D com 3 e E com 2. Logo C venceu E.
Pontuação final: A=9, B=6, C=5, D=3, E=2, todas diferentes e na ordem pedida.
Colunas, da esquerda para a direita:
| A\times B | A\times C | A\times D | A\times E | B\times C | B\times D | B\times E | C\times D | C\times E | D\times E |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| círculo em B | círculo em A | círculo em A | círculo em A | círculo em \times | círculo em \times | círculo em \times | círculo em \times | círculo em C | círculo em \times |
Vencedores: B, A, A, A, \times, \times, \times, \times, C, \times.
Assunto: Lógica e raciocínio lógico.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2007 · Nível 2. Prova oficial ↗