Questão 5 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2007

Question

Caroba tem várias peças em forma de cilindro, de três tipos: brancas de 2 cm de altura, cinzas de 3 cm de altura e pretas de 4 cm de altura. Com essas peças ela pode montar torres de 10 cm de altura de várias maneiras diferentes, algumas delas ilustradas na figura. Descrevemos cada torre listando as alturas de suas peças, de baixo para cima; por exemplo, as torres ao lado são descritas por (2,2,4,2), (2,4,2,2), (3,2,3,2) e (2,2,2,2,2).

(a) Descreva todas as diferentes torres de 10 cm que a Caroba pode fazer com três peças.

Três torres de 10 cm montadas com cilindros de diferentes cores e, caídas à direita, duas peças cinzas de 3 cm que sobraram.

(b) Com 12 peças, sendo 4 de cada uma das cores, a Caroba conseguiu montar 3 torres de 10 cm, tendo sobrado 2 peças de 3 cm, como na figura ao lado.

Descreva como a Caroba pode montar 7 torres de 10 cm, se ela possuir 27 peças, sendo 9 de cada uma das cores.

(c) Explique porque a Caroba não vai conseguir montar 8 torres de 10 cm, se ela possuir 27 peças, sendo 9 de cada uma das cores.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2007

Nível 1 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Caroba tem várias peças em forma de cilindro, de três tipos: brancas de 2 cm de altura, cinzas de 3 cm de altura e pretas de 4 cm de altura. Com essas peças ela pode montar torres de 10 cm de altura de várias maneiras diferentes, algumas delas ilustradas na figura. Descrevemos cada torre listando as alturas de suas peças, de baixo para cima; por exemplo, as torres ao lado são descritas por (2,2,4,2), (2,4,2,2), (3,2,3,2) e (2,2,2,2,2).

(a) Descreva todas as diferentes torres de 10 cm que a Caroba pode fazer com três peças.

Três torres de 10 cm montadas com cilindros de diferentes cores e, caídas à direita, duas peças cinzas de 3 cm que sobraram.

(b) Com 12 peças, sendo 4 de cada uma das cores, a Caroba conseguiu montar 3 torres de 10 cm, tendo sobrado 2 peças de 3 cm, como na figura ao lado.

Descreva como a Caroba pode montar 7 torres de 10 cm, se ela possuir 27 peças, sendo 9 de cada uma das cores.

(c) Explique porque a Caroba não vai conseguir montar 8 torres de 10 cm, se ela possuir 27 peças, sendo 9 de cada uma das cores.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Abaixo listamos as torres que a Caroba pode fazer com três peças:

com duas peças de 4 cm e uma de 2 cm: (4,4,2), (4,2,4), (2,4,4);
com uma peça de 4 cm e duas de 3 cm: (4,3,3), (3,4,3), (3,3,4);

b) Ela pode montar, por exemplo, quatro torres (4,4,2), uma torre (4,3,3) e duas torres (3,3,2,2), restando uma peça de 2 cm e três peças de 3 cm. Outra possibilidade é fazer quatro torres (4,3,3), duas torres (4,4,2) e uma torre (2,2,2,2,2), restando uma peça de 4 cm, uma peça de 3 cm e duas peças de 2 cm. Pode-se também aproveitar as torres do item (a) e montar, além delas, a torre (3,3,2,2), sobrando uma peça de 3 cm e quatro peças de 2 cm. Há ainda outras possibilidades.

c) 1^a solução: O comprimento total de todas as peças que a Caroba tem é 9 \times (2 + 3 + 4) = 9 \times 9 = 81\text{ cm}. Se ela pudesse fazer 8 torres de 10 cm, a soma dos comprimentos dessas torres seria 80 cm, ou seja, sobraria 1 cm. Como não existe peça de 1 cm, concluímos que é impossível montar 8 torres de 10 cm com 9 peças de cada uma das cores.

2^a solução: Peças de 3 cm aparecem 0 ou 2 vezes em qualquer torre de 10 cm, donde o número de peças de 3 cm usadas para fazer qualquer número de torres é par. Como a Caroba tem 9 peças de 3 cm, segue que vai sobrar pelo menos uma peça de 3 cm, qualquer que seja o número de torres que ela montar. Descontando essa peça, o comprimento total das peças que sobram é 81 - 3 = 78\text{ cm}, que não é suficiente para montar 8 torres de 10 cm. Logo a Caroba não vai conseguir montar as 8 torres de 10 cm.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Três peças de 2, 3 ou 4 cm devem somar 10 cm. Testando as combinações possíveis:

2+4+4=10 ✓
3+3+4=10 ✓
Qualquer outra combinação não dá 10. Por exemplo, 2+2+4=8, 2+3+4=9, 4+4+4=12, 2+3+3=8 e 3+4+4=11.

Cada combinação pode ser ordenada de 3 maneiras, conforme a posição da peça diferente. Então as torres são:

(2,4,4), (4,2,4), (4,4,2), (3,3,4), (3,4,3), (4,3,3).

Resposta: as 6 torres acima.

b) As peças de 2 e de 4 cm têm altura par. Para a soma ser 10, cada torre precisa ter um número par de peças cinzas (3 cm). Assim, as 9 cinzas formam no máximo 4 pares, ou seja, 8 cinzas usadas.

Uma montagem possível:

4 torres (3,3,4): usam 8 cinzas e 4 pretas.
2 torres (2,4,4): usam 2 brancas e 4 pretas.
1 torre (2,2,2,2,2): usa 5 brancas.

Conferindo: são 4+2+1=7 torres de 10 cm. Foram usadas 8 cinzas, 8 pretas e 7 brancas, e nenhuma cor passa de 9 peças.

Resposta: 4 torres (3,3,4), 2 torres (2,4,4) e 1 torre (2,2,2,2,2) (outras montagens também servem).

c) A altura total de todas as peças é

9\cdot 2+9\cdot 3+9\cdot 4=81\ \text{cm}.

Oito torres de 10 cm usam 80 cm. Sobrariam peças com altura total de 81-80=1 cm. Isso é impossível, pois toda peça tem pelo menos 2 cm, e não sobrar nenhuma peça daria altura 0, não 1.

Resposta: não é possível, porque sobraria 1 cm de peças, e nenhuma peça tem menos de 2 cm.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 5 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2007

Fonte: OBMEP 2ª fase 2007 · Nível 1. Prova oficial ↗