PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 1 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2007
Um antigo método para codificar palavras consiste em escolher um número de 1 a 26, chamado chave do código, e girar o disco interno do aparelho ilustrado na figura até que essa chave corresponda à letra A. Depois disso, as letras da palavra são substituídas pelos números correspondentes, separados por tracinhos. Por exemplo, na figura ao lado a chave é 5 e a palavra PAI é codificada como 20-5-13.
(a) Usando a chave indicada na figura, descubra qual palavra foi codificada como 23-25-7-25-22-13.
(b) Codifique OBMEP usando a chave 20.
(c) Chicó codificou uma palavra de 4 letras com a chave 20, mas esqueceu-se de colocar os tracinhos e escreveu 2620138. Ajude o Chicó colocando os tracinhos que ele esqueceu e depois escreva a palavra que ele codificou.
(d) Em uma outra chave, a soma dos números que representam as letras A, B e C é 52. Qual é essa chave?
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Resolução comentada
Resolução comentada
Na chave 5, a letra A vale 5, B vale 6, e assim por diante. Depois do 26 a contagem volta ao 1. Em geral, a chave diz o número da letra A, e cada letra seguinte vale uma unidade a mais.
a) Com a chave 5, o número n corresponde à letra que ocupa a posição n-4 no alfabeto (A = 1, B = 2, ...).
- 23 \to 19: S
- 25 \to 21: U
- 7 \to 3: C
- 25 \to 21: U
- 22 \to 18: R
- 13 \to 9: I
A palavra é SUCURI.
b) Com a chave 20, temos A = 20, B = 21, C = 22, D = 23, E = 24, F = 25, G = 26, H = 1, I = 2, ..., e a letra de posição k vale k+19, subtraindo 26 se passar de 26.
- O (posição 15): 15+19=34, e 34-26=8
- B (posição 2): 21
- M (posição 13): 32-26=6
- E (posição 5): 24
- P (posição 16): 35-26=9
OBMEP fica 8-21-6-24-9.
c) Os números vão de 1 a 26, então cada um tem 1 ou 2 dígitos e não começa com 0. São 7 dígitos para 4 números, logo há três números de 2 dígitos e um de 1 dígito.
Testando as divisões de 2620138:
- Começando por 2, o próximo número seria 62, que é maior que 26.
- Começando por 26, o número seguinte pode ser 2 ou 20. Com 2, sobraria 0138, que começa com zero. Com 20, vem 1 e depois 38, que passa de 26. Com 20 e 13, sobra o 8, e isso funciona.
É a única divisão possível: 26-20-13-8.
Com a chave 20, o número n corresponde à posição n+7 (ou n-19 para n\ge 20):
- 26 \to 7: G
- 20 \to 1: A
- 13 \to 20: T
- 8 \to 15: O
Os tracinhos ficam 26-20-13-8, e a palavra é GATO.
d) Se não houvesse volta no disco, A, B e C valeriam x, x+1 e x+2, com soma 3x+3=52. Isso daria x=\frac{49}{3}, que não é inteiro. Logo A, B e C passam pelo 26 e voltam ao 1.
Para A = 25, temos B = 26 e C = 1, com soma 25+26+1=52. Para A = 26, B = 1 e C = 2, a soma é 29, e para as demais chaves a soma é 3x+3, que nunca dá 52.
A chave é 25.
Assunto: Sistemas de numeração.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2007 · Nível 2. Prova oficial ↗