Questão 6 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2006

Question

O quadrado da figura I é chamado especial porque

ele está dividido em 16 quadrados iguais;
em cada linha e em cada coluna aparecem os algarismos 1, 2, 3 e 4;
em cada um dos quadrados A, B, C e D (como na figura II) aparecem os algarismos 1, 2, 3 e 4.

4	2	1	3
1	3	2	4
3	1	4	2
2	4	3	1

I

Figura II: quadrado 4×4 dividido em quatro blocos 2×2 identificados pelas letras A, B, C e D.

(a) Complete o quadrado abaixo de modo que ele se torne especial.

	2
3	4
		1
			2

(b) É possível completar o quadrado abaixo de modo a obter um quadrado especial? Por quê?

1	2
3	4
		2
		1

(c) Exiba todas as maneiras de completar o quadrado abaixo de modo a obter um quadrado especial.

1	2
3	4

		1

(d) Quantos quadrados especiais existem?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2006

Nível 2 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

O quadrado da figura I é chamado especial porque

ele está dividido em 16 quadrados iguais;
em cada linha e em cada coluna aparecem os algarismos 1, 2, 3 e 4;
em cada um dos quadrados A, B, C e D (como na figura II) aparecem os algarismos 1, 2, 3 e 4.

4	2	1	3
1	3	2	4
3	1	4	2
2	4	3	1

I

Figura II: quadrado 4×4 dividido em quatro blocos 2×2 identificados pelas letras A, B, C e D.

(a) Complete o quadrado abaixo de modo que ele se torne especial.

	2
3	4
		1
			2

(b) É possível completar o quadrado abaixo de modo a obter um quadrado especial? Por quê?

1	2
3	4
		2
		1

(c) Exiba todas as maneiras de completar o quadrado abaixo de modo a obter um quadrado especial.

1	2
3	4

		1

(d) Quantos quadrados especiais existem?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) A solução é feita em seis passos, assinalado cada um deles em vermelho.

[Figura: Seis etapas de preenchimento de uma grade 4×4 dividida em quatro blocos 2×2, identificadas de "1º passo" a "6º passo", indicando a inserção sequencial dos números até o preenchimento completo.]

b) Não. No quadradinho assinalado com X não podemos colocar nem o 3 nem o 4 porque a 2^a linha já contém esses números. Por outro lado também não podemos colocar nem 1 nem 2 porque a última coluna já contém esses números.

[Figura: Grade 4×4 com os números 1, 2 na primeira linha e 3, 4 na segunda linha do primeiro bloco 2×2, e a última coluna contendo a letra X na segunda linha, o número 2 na terceira e 1 na quarta.]

c) De acordo com o item (b), temos quatro opções para preencher o quadrado D, que são

[Figura: Quatro blocos 2×2 representando as opções para o quadrado D, sendo a última sombreada em cinza: [3, 4; 2, 1], [4, 3; 2, 1], [2, 3; 4, 1] e [2, 4; 3, 1] (sombreada).]

Como no item (b), vemos que opção sombreada não é possível, uma vez que não teremos como preencher o quadradinho assinalado com X.

[Figura: Grade 4×4 com o bloco superior esquerdo preenchido com 1, 2, 3, 4 e o bloco inferior direito preenchido com 2, 4, 3, 1, contendo um X na quarta linha, segunda coluna.]

Logo, para preencher o quadrado D só restam as 3 opções

[Figura: Três blocos 2×2 com as opções restantes: [2, 3; 4, 1], [3, 4; 2, 1] e [4, 3; 2, 1].]

Uma vez preenchido o quadrado D, os quadrados B e C podem ser preenchidos de modo único. Logo, temos 3 maneiras para completar o quadrado original, que são

[Figura: Três grades 4×4 completamente preenchidas correspondentes a cada uma das três opções válidas para o quadrado D.]

d) Para preencher o quadrado A, na ordem crescente 1, 2, 3 e 4 temos a seguinte situação:

podemos colocar o 1 em qualquer das 4 posições;
colocado o 1, temos 3 posições para o 2;
colocados o 1 e o 2, temos 2 posições para o 3;
colocados o 1, o 2 e o 3 temos apenas uma posição para o 4.

Logo, o quadrado A pode ser preenchido de 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 maneiras.

Preenchido o quadrado A, vamos agora preencher o quadrado D:

podemos colocar o 1 em qualquer das 4 casas;
uma vez colocado o 1, usando o mesmo argumento que no item (c), vemos que existem 3 meneiras de completar o quadrado D.

Logo, temos 24 \times 4 \times 3 = 288 modos de preencher os quadrados A e D. Sabemos que, estando esses dois quadrados preenchidos, só temos uma maneira de preencher os quadrados B e C. Logo, o número total de quadrados especiais é 288.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Vamos preencher pelas restrições, usando linhas, colunas e blocos.

No bloco A já aparecem 2, 3 e 4, então a casa vazia é 1. Na linha 1 sobram 3 e 4 para as colunas 3 e 4.

No bloco B, a linha 2 (que já tem 3 e 4) recebe 1 e 2. Como a coluna 4 já tem o 2 na última linha, a linha 2 fica com 2 na coluna 3 e 1 na coluna 4.

No bloco D faltam 3 e 4 nas casas (3,4) e (4,3). Há duas possibilidades:

Se (1,3)=3, então (4,3)=4 e (3,4)=3. A linha 4 fica com 4 e 2, e as casas (4,1) e (4,2) seriam 1 e 3. Mas a coluna 1 já tem 1 e 3, então isso é impossível.
Se (1,3)=4, então (1,4)=3, (4,3)=3 e (3,4)=4. Na coluna 1 faltam 2 e 4. Na linha 3 os valores possíveis são 2 e 3, logo (3,1)=2 e (4,1)=4. Na coluna 2 faltam 1 e 3, e então (3,2)=3 e (4,2)=1.

O quadrado completo é:

1 2 4 3
3 4 2 1
2 3 1 4
4 1 3 2

Todas as linhas, colunas e blocos têm 1, 2, 3 e 4.

Resposta: o quadrado acima.

b) No bloco D já estão o 2 e o 1 na coluna 4, nas linhas 3 e 4. Portanto a coluna 4 já tem 1 e 2, e suas duas primeiras casas só podem ser 3 e 4.

No bloco B faltam então o 1 e o 2 para as casas (1,3) e (2,3). Mas a linha 1 já tem 1 e 2, então (1,3) não pode ser 1 nem 2. Isso é uma contradição.

Resposta: não é possível, pois a casa (1,3) não poderia receber nenhum algarismo.

c) Linha 1: as casas (1,3) e (1,4) têm 3 e 4. Linha 2: as casas (2,3) e (2,4) têm 1 e 2. Como (4,4)=1, a coluna 4 não pode ter outro 1, o que dá (2,4)=2 e (2,3)=1.

Na coluna 1 faltam 2 e 4 nas linhas 3 e 4. Na coluna 2 faltam 1 e 3. Como (4,4)=1, a linha 4 não pode ter 1 na coluna 2, então (4,2)=3 e (3,2)=1.

Agora a coluna 4 precisa de 3 e 4 nas casas (1,4) e (3,4). Há dois casos:

(1,4)=3, (1,3)=4 e (3,4)=4. Na coluna 3 sobram 2 e 3, e (4,3) só pode ser 2 (na linha 4 sobram 2 e 4). Então (3,3)=3, (4,1)=4 e (3,1)=2.
(1,4)=4, (1,3)=3 e (3,4)=3. Em (3,3) e (4,3) entram 2 e 4, em qualquer ordem, e (3,1), (4,1) completam a linha. Isso dá duas soluções.

As três soluções (linhas separadas por /) são:

1 2 4 3 / 3 4 1 2 / 2 1 3 4 / 4 3 2 1
1 2 3 4 / 3 4 1 2 / 4 1 2 3 / 2 3 4 1
1 2 3 4 / 3 4 1 2 / 2 1 4 3 / 4 3 2 1

Resposta: existem exatamente 3 maneiras, as três listadas acima.

d) O bloco A pode ser preenchido de 4!=24 modos. Trocando os nomes dos algarismos, cada um deles admite o mesmo número de completações. Vamos contar quantas existem quando A é 1 2 / 3 4.

B: a linha 1 recebe 3 e 4, e a linha 2 recebe 1 e 2, cada uma em 2 ordens. São 4 escolhas.
C: a coluna 1 recebe 2 e 4, e a coluna 2 recebe 1 e 3. São 4 escolhas.
D: as linhas de D têm de ser formadas pelos pares complementares aos já usados nas linhas 3 e 4. As colunas de D têm de ser formadas pelos pares complementares aos usados nas colunas 3 e 4. Existe um único D se as duas partições de \{1,2,3,4\} em pares forem diferentes. Caso contrário, não existe D.

Pelas linhas de C, a partição é \{12|34\} em 2 escolhas ou \{14|23\} em 2 escolhas. Pelas colunas de B, a partição é \{13|24\} em 2 escolhas ou \{14|23\} em 2 escolhas.

Os casos compatíveis são 2\cdot 4=8, com C na partição \{12|34\} e B qualquer, mais 2\cdot 2=4, com C em \{14|23\} e B em \{13|24\}. Há então 12 completações.

O total é 24\cdot 12=288.

Resposta: 288 quadrados especiais.

Assuntos: Lógica e raciocínio lógico, Princípio fundamental da contagem.

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Esta questão também caiu em

OBMEP 2ª fase 2006 · Questão 4 (Nível 3)(d) Quantos quadrados especiais existem?

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Questão 6 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2006

Fonte: OBMEP 2ª fase 2006 · Nível 2. Prova oficial ↗