Questão 4 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2006

Resolução comentada

a) Vamos preencher passo a passo. No quadrado A faltam apenas o 1, que vai na casa do canto superior esquerdo. A linha 1 fica 1\ 2\ \_\ \_, e as duas casas livres recebem 3 e 4.

No quadrado B precisam aparecer 1, 2, 3 e 4. A linha 1 já usa 3 e 4 nele, então a linha 2 recebe 1 e 2 nas colunas 3 e 4. A coluna 3 já tem o 1 na linha 3, então a linha 2 fica 3\ 4\ 2\ 1.

Na coluna 2 faltam 1 e 3 nas linhas 3 e 4. Como a linha 3 já tem o 1, temos 3 na linha 3 e 1 na linha 4, coluna 2. Na coluna 1 faltam 2 e 4. No quadrado D, as casas livres da linha 3 e da linha 4 recebem 3 e 4. A linha 3 (\_\ 3\ 1\ \_) não pode repetir o 3, então termina em 4. Logo a linha 3 é 2\ 3\ 1\ 4. A linha 4 fica 4\ 1\ 3\ 2. Por fim, a coluna 3 pede 4 no alto e a coluna 4 pede 3.

Quadrado completo acima, que satisfaz as três condições.

b) No quadrado B (canto superior direito) a linha 1 já tem 1 e 2, então suas duas casas livres recebem 3 e 4. A linha 2 já tem 3 e 4, então suas casas livres em B recebem 1 e 2.

Assim, na coluna 4, as duas casas de cima ficam com um número de \{3,4\} (linha 1) e um de \{1,2\} (linha 2). Mas a coluna 4 já tem 2 e 1 nas linhas 3 e 4. Então a casa da linha 2, coluna 4, teria de ser 3 ou 4, e ao mesmo tempo 1 ou 2. Isso é impossível.

Não é possível: a casa da linha 2, coluna 4, teria de ser ao mesmo tempo 1 ou 2 (pelo quadrado B) e 3 ou 4 (pela coluna 4).

c) Como no item anterior, no quadrado B temos \{3,4\} na linha 1 e \{1,2\} na linha 2. A coluna 4 já tem o 1 na linha 4, então a linha 2 termina em 2 e fica 3\ 4\ 1\ 2.

Na coluna 2 faltam 1 e 3 nas linhas 3 e 4. A linha 4 já tem o 1, então ficam 1 na linha 3 e 3 na linha 4. Na coluna 1 faltam 2 e 4 nas linhas 3 e 4.

Falta decidir a ordem de 3 e 4 na linha 1 e de 2 e 4 na coluna 1.

• Linha 1 =1\ 2\ 3\ 4. Então a coluna 4 pede 3 na linha 3. A coluna 3 tem 3 e 1 nas linhas 1 e 2, então as linhas 3 e 4 recebem 2 e 4 em alguma ordem. Isso dá duas soluções, que são a 1 e a 2 abaixo.
• Linha 1 =1\ 2\ 4\ 3. Então a coluna 4 pede 4 na linha 3. A coluna 3 pede 2 e 3 nas linhas 3 e 4, e a linha 4 (que tem 3 e 1) pede 2 e 4 nas casas livres. Logo a linha 4 fica 4\ 3\ 2\ 1, a linha 3 fica 2\ 1\ 3\ 4. Isso dá a solução 3.

Solução 1: linhas 1234, 3412, 4123, 2341.

Solução 2: linhas 1234, 3412, 2143, 4321.

Solução 3: linhas 1243, 3412, 2134, 4321.

Existem exatamente 3 maneiras, as três listadas acima.

d) O quadrado A pode ser preenchido de 4!=24 maneiras. Por troca de nomes dos algarismos, cada uma delas leva ao mesmo número de quadrados especiais. Basta contar com A=\begin{smallmatrix}1&2\\3&4\end{smallmatrix}.

Nesse caso, B tem 4 possibilidades: linha 1 com 3 e 4 em uma de duas ordens, linha 2 com 1 e 2 em uma de duas ordens. Do mesmo modo, C tem 4 possibilidades. O quadrado D fica então determinado, se existir.

As colunas 3 e 4 de D recebem os pares de números que não estão acima delas. Esses pares formam uma partição de \{1,2,3,4\}. As linhas 3 e 4 de D também. Para D ser completável, cada par de linha deve ter exatamente um elemento em comum com cada par de coluna.

As partições de coluna possíveis são P_1=\{13,24\} e P_2=\{14,23\}, e cada uma ocorre em 2 dos 4 quadrados B. As partições de linha possíveis são Q_1=\{12,34\} e Q_2=\{14,23\}, e cada uma ocorre em 2 dos 4 quadrados C.

Só falha o caso Q_2 com P_2, que é a mesma partição. Ficam 3 combinações boas, cada uma com 2\cdot2=4 pares (B,C), e D é único em cada uma. Então há 3\cdot4=12 quadrados com A fixo.

Total: 24\cdot12=288.

Existem 288 quadrados especiais.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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