PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 5 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2006
Ana Terra, Bibiana e Pedro Missionário distribuíram entre si dezenove cartões numerados de 1 a 19. Ana ficou com nove desses cartões, Bibiana, com outros nove e Pedro Missionário, com o cartão que sobrou.
(a) É possível que a soma dos números escritos nos cartões de Ana seja 136? Por quê?
(b) Se a soma dos números escritos nos cartões de Ana é 90 a mais que a soma dos números escritos nos cartões de Bibiana, qual é o número escrito no cartão de Pedro Missionário?
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Resolução comentada
Resolução comentada
a) A soma de todos os cartões é 1+2+\dots+19=\dfrac{19\cdot 20}{2}=190.
A maior soma possível para Ana ocorre quando ela fica com os nove maiores cartões, de 11 a 19:
Como qualquer outra escolha de nove cartões dá soma menor ou igual a 135, Ana não pode ter soma 136.
Não é possível, pois a maior soma que Ana pode obter é 135.
b) Sejam A e B as somas de Ana e Bibiana, e p o cartão de Pedro. Então A+B+p=190 e A-B=90.
Somando as duas igualdades, 2A + p = 280, ou seja, A=\dfrac{280-p}{2}.
Primeiro limite: A\le 135, pelo item (a). Então 280-p\le 270, e daí p\ge 10.
Segundo limite: subtraindo, B=A-90=\dfrac{100-p}{2}. A menor soma possível para nove cartões é 1+2+\dots+9=45, então B\ge 45. Logo 100-p\ge 90, e daí p\le 10.
Portanto p=10. Conferindo: Ana com os cartões de 11 a 19 (soma 135), Bibiana com os de 1 a 9 (soma 45), e a diferença é 135-45=90.
O cartão de Pedro Missionário é o 10.
Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2006 · Nível 2. Prova oficial ↗