Questão 6 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2005

Resolução comentada

a) Se o número tem exatamente dois algarismos iguais, seus algarismos são a, a e b, com b\neq a. A soma é 2a+b=12, com a e b entre 0 e 9.

Vejamos os valores possíveis de a:

1. a=1 daria b=10, e a=0 daria b=12. Nenhum serve.
2. a=2, b=8: 228, 282, 822 (3 números).
3. a=3, b=6: 336, 363, 633 (3 números).
4. a=4, b=4: os três algarismos são iguais (444), então não conta.
5. a=5, b=2: 552, 525, 255 (3 números).
6. a=6, b=0: 660 e 606. O 066 não é número de três algarismos (2 números).
7. a\ge 7 daria b<0. Não serve.

Total: 3+3+3+2=11.

Resposta: 11 números.

b) A soma de três números ímpares é sempre ímpar (ímpar + ímpar = par, e par + ímpar = ímpar). Como 12 é par, nenhum número com três algarismos ímpares tem soma 12.

Resposta: nenhum (0 números).

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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