Questão 1 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2005

Resolução comentada

a) Começando em 45, que tem dois algarismos, podemos apagar as unidades. Depois dobramos até chegar a um número de dois algarismos começado por 1:

Como 4 e 8 têm um só algarismo, a regra obriga a dobrar. Já o 16 tem dois algarismos, então podemos apagar o 6.

45 → 4 → 8 → 16 → 1

b) A ideia é apagar unidades até sobrar um algarismo e depois dobrar até aparecer um número que comece com 1:

345 → 34 → 3 → 6 → 12 → 1

c) Seja n um número natural qualquer, diferente de zero.

1. Se n tem mais de um algarismo, apagamos o algarismo das unidades. O novo número é natural e não nulo, pois o primeiro algarismo de n não é zero. Repetindo, chegamos a um número de um só algarismo, de 1 a 9.
2. A partir de um algarismo de 1 a 9, o caminho é sempre possível:

• 1: já terminou.
• 2 \to 4 \to 8 \to 16 \to 1
• 3 \to 6 \to 12 \to 1
• 4 \to 8 \to 16 \to 1
• 5 \to 10 \to 1
• 6 \to 12 \to 1
• 7 \to 14 \to 1
• 8 \to 16 \to 1
• 9 \to 18 \to 1

Em cada caso, dobrando o número de um algarismo chegamos a 10, 12, 14, 16 ou 18, ou passamos antes por um desses. Todos têm dois algarismos e começam por 1, então basta apagar as unidades para obter 1.

Apagando unidades até restar um algarismo e seguindo a tabela acima, qualquer número natural não nulo chega a 1.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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