O quadrado ABCD da figura está dividido em 16 quadradinhos iguais. O quadrado sombreado tem os vértices sobre os pontos médios do quadrado EFGH.
A) A área do quadrado EFGH corresponde a que fração da área do quadrado ABCD?
B) Se o quadrado ABCD tem 80\ \text{cm}^2 de área, qual é o lado do quadrado sombreado?
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Resolução comentada
a) Coloque a malha em coordenadas, com D=(0,0) e cada quadradinho com lado 1. Então G=(1,0), F=(4,1) e H=(0,3).
O lado GF é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos 3 e 1. Logo:
GF^2 = 3^2+1^2 = 10.
Portanto a área de EFGH é 10 quadradinhos. O lado HG também vale \sqrt{10}, pois seus catetos são 1 e 3.
Como ABCD tem 16 quadradinhos:
\frac{10}{16}=\frac{5}{8}.
Outra forma de ver: ABCD menos os 4 triângulos dos cantos. Os triângulos têm áreas \tfrac{3\cdot1}{2} cada, somando 4\cdot\tfrac32=6, e 16-6=10.
A área de EFGH é \dfrac{5}{8} da área de ABCD.
b) Se ABCD tem 80\ \text{cm}^2, cada quadradinho tem 80/16=5\ \text{cm}^2. Então:
\text{área}(EFGH)=10\cdot 5=50\ \text{cm}^2.
O quadrado sombreado tem vértices nos pontos médios dos lados de EFGH. Cada um dos 4 triângulos retângulos isósceles que sobram nos cantos de EFGH tem catetos iguais à metade do lado de EFGH. Cada um ocupa \tfrac18 da área de EFGH, e os quatro juntos ocupam \tfrac12. Logo o quadrado sombreado tem metade da área de EFGH:
