Questão 3 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2005

Resolução comentada

a) Cada botão fica definido por três características: cor, tamanho e forma. Para os brancos quadrados, a cor e a forma estão fixadas, então só varia o tamanho: pequeno, médio ou grande.

A caixinha não tem botões pequenos redondos, mas isso não afeta os quadrados. Ela também não tem botões grandes pretos, e isso não afeta os brancos. Logo, existem os três tipos: branco quadrado pequeno, médio e grande. Como há exatamente um botão de cada tipo existente, são 3 botões.

Há 3 botões brancos quadrados.

b) Se não houvesse restrições, o total de tipos seria:

Agora retiramos os tipos que não existem:

1. Pequenos redondos: 3 tipos, um para cada cor (preto, branco e marrom).
2. Grandes pretos: 2 tipos, um para cada forma (quadrado e redondo).

Esses dois grupos não têm tipo em comum, porque um é de tamanho pequeno e o outro de tamanho grande. Então não há nada contado duas vezes, e retiramos 3+2=5 tipos.

Como há um botão de cada tipo que existe, o total é 13 botões.

Há 13 botões na caixinha.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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