Questão 2 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2005

Resolução comentada

a) Começando em 45, que tem dois algarismos, podemos apagar a unidade. Depois, o número passa a ter um algarismo e só podemos dobrar:

O 16 tem dois algarismos, então apagar o 6 é permitido e sobra o 1.

Uma maneira: 45 \to 4 \to 8 \to 16 \to 1.

b) Com 345, apagamos a unidade duas vezes para chegar a um número de um algarismo e depois dobramos:

Uma maneira: 345 \to 34 \to 3 \to 6 \to 12 \to 1.

c) A ideia é reduzir o número a um só algarismo e mostrar que todo algarismo de 1 a 9 leva ao 1.

1. Se o número tem mais de um algarismo, apagamos a unidade repetidas vezes. Cada apagamento tira um algarismo, então chegamos a um número de um algarismo, de 1 a 9. Ele não é zero, porque o primeiro algarismo de um número natural não nulo não é zero.
2. A partir de cada algarismo, há um caminho até o 1:

• 1: já chegamos.
• 2 \to 4 \to 8 \to 16 \to 1
• 3 \to 6 \to 12 \to 1
• 4 \to 8 \to 16 \to 1
• 5 \to 10 \to 1
• 6 \to 12 \to 1
• 7 \to 14 \to 1
• 8 \to 16 \to 1
• 9 \to 18 \to 1

Nos caminhos acima, o dobro de um algarismo é 10, 12, 14, 16 ou 18, ou então um número de um algarismo que continua sendo dobrado. Quando aparece um número de dois algarismos começando em 1, apagamos a unidade e sobra o 1.

Conclusão: apagamos as unidades até sobrar um algarismo e seguimos o caminho da lista acima, que sempre termina em 1.

Assuntos: Sistemas de numeração, Lógica e raciocínio lógico.

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