Questão 1 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2005

Question

Tia Anastácia uniu quatro retângulos de papel de 3\text{ cm} de comprimento por 1\text{ cm} de largura, formando a figura ao lado.

Quatro retângulos de dimensões 3 por 1 dispostos de forma rotacional em torno de um ponto central, formando uma figura semelhante a um catavento de quatro braços.

A) Qual é o perímetro da figura?

B) Qual é o menor número de retângulos de 3\text{ cm} de comprimento por 1\text{ cm} de largura que é necessário juntar a essa figura para se obter um quadrado? Faça um desenho ilustrando sua resposta.

C) Qual é a área do quadrado obtido no item anterior?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2005

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Tia Anastácia uniu quatro retângulos de papel de 3\text{ cm} de comprimento por 1\text{ cm} de largura, formando a figura ao lado.

Quatro retângulos de dimensões 3 por 1 dispostos de forma rotacional em torno de um ponto central, formando uma figura semelhante a um catavento de quatro braços.

A) Qual é o perímetro da figura?

B) Qual é o menor número de retângulos de 3\text{ cm} de comprimento por 1\text{ cm} de largura que é necessário juntar a essa figura para se obter um quadrado? Faça um desenho ilustrando sua resposta.

C) Qual é a área do quadrado obtido no item anterior?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

A) Solução 1: Ao juntar os retângulos, cada um “perdeu” um lado de 1\text{ cm} e mais 1\text{ cm} em um lado de comprimento 3\text{ cm}, ou seja, 2\text{ cm} no total. Como o perímetro de cada retângulo é 8\text{ cm}, o perímetro da figura é 4 \times 8 - 4 \times 2 = 24\text{ cm}.

Solução 2: A figura tem 4 lados de 3\text{ cm}, 4 lados de 2\text{ cm} e 4 lados de 1\text{ cm}, logo seu perímetro é 4 \times 3 + 4 \times 2 + 4 \times 1 = 24\text{ cm}.

[Figura: Figura original formada pela união dos quatro retângulos de papel cinzas, com indicações de medidas: base inferior de 1\text{ cm}, altura vertical do braço inferior de 3\text{ cm} e largura do degrau de 2\text{ cm}.]

B) A resposta está na figura ao lado, onde vemos que basta juntar 8 retângulos à figura original para formar o quadrado.

[Figura: Quadrado de lado 6\text{ cm} composto pela figura original sombreada em cinza e 8 retângulos brancos adjacentes. Na lateral esquerda, há cotas verticais indicando as medidas de 3\text{ cm}, 1\text{ cm}, 1\text{ cm} e 1\text{ cm}.]

C) Solução 1: Cada retângulo tem área igual a 3 \times 1 = 3\text{ cm}^2. Como o quadrado é composto de 12 retângulos, a sua área é igual a 12 \times 3 = 36\text{ cm}^2.

Solução 2: Observando a figura, vemos que cada lado do quadrado tem comprimento igual a 3 \times 1 + 3 = 6\text{ cm}. Portanto, sua área é 6 \times 6 = 36\text{ cm}^2.

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Resolução comentada

a) Coloque a figura num plano: o centro é um quadrado 2\times 2 e cada retângulo 3\times 1 forma um braço que sai desse centro. Cada braço avança 2 cm além do quadrado central.

Contorne a figura e some os lados. Em cada braço, o contorno percorre 1, 2 e 3 cm, nessa ordem. Isso se repete nos 4 braços:

4\cdot(1+2+3)=24\ \text{cm}

Outra forma de ver: a figura cabe num quadrado de 6\times 6 e nenhuma "reentrância" muda o perímetro. Esse quadrado tem perímetro 4\cdot 6=24 cm.

Perímetro =24\ \text{cm}.

b) O quadrado deve conter a figura, que tem 6 cm de largura e 6 cm de altura. Então o lado mede pelo menos 6 cm. O menor quadrado possível tem lado 6 cm e área 36\ \text{cm}^2.

A figura ocupa 4\cdot 3=12\ \text{cm}^2. Faltam 36-12=24\ \text{cm}^2, ou seja, 24\div 3=8 retângulos.

Os 8 retângulos cabem. Em cada um dos 4 cantos sobra uma região de 3\times 2. Ela é preenchida por 2 retângulos lado a lado, ambos na mesma posição (os dois na vertical ou os dois na horizontal) e encostados na ponta de um braço. Cada canto recebe 2 retângulos, e 4\cdot 2=8.

Desenho: um quadrado 6\times 6 com a figura no meio e, em cada um dos 4 cantos, 2 retângulos 3\times 1 paralelos entre si.

Um quadrado de lado maior que 6 cm teria área maior e precisaria de mais retângulos. Logo 8 é o mínimo.

Resposta: 8 retângulos.

c) O quadrado obtido tem lado 6 cm, então:

6\times 6=36\ \text{cm}^2

Conferência: 12+8\cdot 3=36.

Área =36\ \text{cm}^2.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 1 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2005

Fonte: OBMEP 2ª fase 2005 · Nível 1. Prova oficial ↗