PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 do ITA 2025

1ª fase · Matemática · Matemática: Sistemas lineares

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária. Os eixos horizontal e vertical são indicados respectivamente por O_x e O_y, e o centro do sistema, por O.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.

Sejam m, n e k números reais. Considere os sistemas abaixo:

\text{I} : \begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 2y - z = 2 \\ 2x + y + 4z = 1 \end{cases} \qquad \text{II} : \begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + my + nz = 5 \\ kx + y - z = 3m + 2n \end{cases}

Sabendo-se que os dois sistemas são equivalentes (isto é, possuem o mesmo conjunto solução), o valor de k é

  1. A
    \frac{1}{3}.
  2. B
    \frac{1}{2}.
  3. C
    1.
  4. D
    2.
  5. E
    3.
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Resolução comentada

Dois sistemas são equivalentes quando têm o mesmo conjunto solução. Por isso, o primeiro passo é descobrir quais são as soluções do sistema I.

  1. Subtraindo a 1ª equação da 2ª: y - 2z = 1, ou seja, y = 1 + 2z.
  2. Subtraindo o dobro da 1ª equação da 3ª: -y + 2z = -1, que dá o mesmo resultado, y = 1 + 2z.

As duas contas dão a mesma informação, então o sistema I é possível e indeterminado. Fazendo z = t, temos y = 1 + 2t e x = 1 - y - z = -3t.

O conjunto solução de I é (-3t,\ 1+2t,\ t), com t real.

Para o sistema II ter essas mesmas soluções, a 2ª e a 3ª equações devem ser verdadeiras para todo t. A 1ª equação já é satisfeita.

  1. Na 2ª equação: -3t + m(1+2t) + nt = 5, isto é, (2m + n - 3)t + m = 5. Para valer para todo t: m = 5 e 10 + n - 3 = 0, logo n = -7.
  2. O termo independente da 3ª equação é 3m + 2n = 15 - 14 = 1.
  3. Na 3ª equação: -3kt + 1 + 2t - t = 1, isto é, (1 - 3k)t = 0 para todo t. Então 1 - 3k = 0 e k = \frac{1}{3}.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BNão decorre de 1-3k=0; o valor 1/2 aparece de erro de conta na substituição da solução.
  • CEsquece o termo -3kt da solução ou erra o coeficiente de t, concluindo k=1.
  • DTroca o coeficiente de t e chega a k=2, que não anula 1-3k.
  • EConfunde o -3 da solução x=-3t com o valor de k, sem impor que 1-3k=0.

Assunto: Sistemas lineares.

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Fonte: ITA 2025 · 1ª fase. Prova oficial ↗