PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 do ITA 2025

1ª fase · Matemática · Matemática: Equações e inequações trigonométricas

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária. Os eixos horizontal e vertical são indicados respectivamente por O_x e O_y, e o centro do sistema, por O.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.

Considere a função

f(x) = \sqrt{\frac{2\sen (2x) + 2\sen (x) - 2\cos(x) - 1}{8(\cos(2x) + 1)}}.

Seja I = (a, b) o intervalo de maior comprimento contido em [-\pi, 2\pi] tal que f(x) está definida para todo x \in I. O valor de a + b é

  1. A
    0.
  2. B
    \dfrac{\pi}{3}.
  3. C
    \dfrac{2\pi}{3}.
  4. D
    \dfrac{5\pi}{6}.
  5. E
    \dfrac{13\pi}{6}.
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Resolução comentada

Para a raiz existir, a fração deve ser maior ou igual a zero e o denominador deve ser diferente de zero.

O denominador é 8(\cos 2x+1)=16\cos^2 x, que é positivo, a menos que \cos x=0. Então \cos x\neq 0, e o sinal da fração é o do numerador N=2\sen 2x+2\sen x-2\cos x-1.

Seja t=\sen x-\cos x. Então t^2=1-\sen 2x, ou seja, \sen 2x=1-t^2. Substituindo:

N=2(1-t^2)+2t-1=-2t^2+2t+1\ge 0 \iff 2t^2-2t-1\le 0,

que dá \dfrac{1-\sqrt3}{2}\le t\le \dfrac{1+\sqrt3}{2}.

Como t=\sqrt2\,\sen\!\left(x-\frac{\pi}{4}\right), temos, com u=x-\frac{\pi}{4}:

\frac{\sqrt2-\sqrt6}{4}\le \sen u\le \frac{\sqrt2+\sqrt6}{4}.

Esses extremos são \sen(-\pi/12) e \sen(5\pi/12). Logo, u\in[-\pi/12,\,5\pi/12] ou u\in[7\pi/12,\,13\pi/12], a menos de 2k\pi.

Voltando a x=u+\pi/4: x\in[\pi/6,\,2\pi/3] ou x\in[5\pi/6,\,4\pi/3], a menos de 2k\pi.

Em [-\pi,2\pi] sobram:

  • [-\pi,-2\pi/3], de comprimento \pi/3;
  • [\pi/6,2\pi/3] sem \pi/2, que dá pedaços de comprimentos \pi/3 e \pi/6;
  • [5\pi/6,4\pi/3], de comprimento \pi/2, sem nenhum zero de \cos x dentro (o próximo é 3\pi/2>4\pi/3).

O maior intervalo é (5\pi/6,\,4\pi/3), e

a+b=\frac{5\pi}{6}+\frac{8\pi}{6}=\frac{13\pi}{6}.

Alternativa E.

Pegadinha: Esquecer que \cos x\neq 0 quebra [\pi/6,2\pi/3] em dois pedaços; mesmo assim o maior intervalo é o de 5\pi/6 a 4\pi/3.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASeria a soma de um intervalo simétrico em torno da origem, que não corresponde a nenhum intervalo do domínio.
  • BNão corresponde à soma dos extremos de nenhum dos intervalos do domínio.
  • CÉ a soma a+b de um intervalo sobre [\pi/6,2\pi/3] ignorando a exclusão de \pi/2 (e que, de todo modo, é menor que o intervalo de comprimento \pi/2).
  • DUsa só o extremo a=5\pi/6 do maior intervalo, sem somar o extremo b.

Assunto: Equações e inequações trigonométricas.

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Fonte: ITA 2025 · 1ª fase. Prova oficial ↗