PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 do ITA 2025

1ª fase · Matemática · Matemática: Combinações e binômio de Newton

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária. Os eixos horizontal e vertical são indicados respectivamente por O_x e O_y, e o centro do sistema, por O.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.

O termo independente da expansão de \left( x + \frac{1}{x} \right)^6 \left( x - \frac{2}{x} \right)^5 é

  1. A
    -18.
  2. B
    -12.
  3. C
    0.
  4. D
    12.
  5. E
    18.
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Resolução comentada

O termo independente é o termo em que o expoente de x vale zero. Basta olhar a paridade dos expoentes em cada fator.

  1. No primeiro fator, o termo geral é \binom{6}{j}x^{6-j}\left(\frac{1}{x}\right)^j=\binom{6}{j}x^{6-2j}. O expoente 6-2j é sempre par.

  2. No segundo fator, o termo geral é \binom{5}{k}x^{5-k}\left(-\frac{2}{x}\right)^k=\binom{5}{k}(-2)^k x^{5-2k}. O expoente 5-2k é sempre ímpar.

  3. Ao multiplicar um termo de cada fator, os expoentes se somam: (6-2j)+(5-2k)=11-2(j+k). Esse número é par menos ímpar, ou seja, sempre ímpar.

  4. Como zero é par, nenhum produto resulta em x^0. Todos os termos da expansão têm expoente ímpar, então o termo independente não existe, o que equivale a coeficiente 0.

Alternativa C.

Pegadinha: A tentação é expandir os dois binômios e multiplicar tudo; a alternativa 0 só aparece vendo que os expoentes têm paridade ímpar.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AResulta de uma conta inventada ou de erro de sinal ao combinar termos; nenhum produto de termos tem expoente zero.
  • BSupõe que existam pares de termos cujos expoentes se cancelam, o que a paridade (par + ímpar = ímpar) impede.
  • DValor sem base: ignora que todos os expoentes do produto são ímpares.
  • EValor sem base: ignora a paridade dos expoentes e supõe um termo constante inexistente.

Assunto: Combinações e binômio de Newton.

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Fonte: ITA 2025 · 1ª fase. Prova oficial ↗