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Questão 2 do ITA 2025

1ª fase · Matemática · Matemática: Poliedros e relação de Euler

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária. Os eixos horizontal e vertical são indicados respectivamente por O_x e O_y, e o centro do sistema, por O.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.

Considere as afirmações:

I. Existe um poliedro formado por 3 faces triangulares e as demais faces quadrangulares.
II. Existe um poliedro não convexo com 5 vértices, 9 arestas e 6 faces.
III. Existe um poliedro convexo com 7 vértices, 16 arestas e 11 faces.

Está(ão) correta(s):

  1. A
    I e II.
  2. B
    I e III.
  3. C
    II e III.
  4. D
    apenas III.
  5. E
    apenas II.
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Resolução comentada

Para todo poliedro convexo vale a relação de Euler: V - A + F = 2. Em poliedros não convexos ela pode falhar (por exemplo, com buracos), mas ainda existem restrições combinatórias.

I. Se há 3 faces triangulares e q faces quadrangulares, então 2A = 3\cdot 3 + 4q = 9 + 4q. O lado esquerdo é par e o direito é ímpar, o que é impossível. A afirmação I é falsa.

II. Com V=5, A=9, F=6: 5 - 9 + 6 = 2. Para 5 vértices, 9 arestas e 6 faces, o grafo é o máximo planar possível: 3V-6 = 9, então todas as faces seriam triangulares. O poliedro é a bipirâmide triangular (2A = 18 = 3\cdot 6, confere). Mas um poliedro não convexo com esses números é possível? Basta unir duas pirâmides triangulares (6 faces triangulares) com uma base comum, de modo que a segunda pirâmide seja "para dentro" da primeira. O sólido continua com 5 vértices, 9 arestas e 6 faces, porém é não convexo. Isso é viável: tomando a base ABC e os vértices D e E, com D acima e E ligeiramente acima de ABC mas abaixo de D, no mesmo lado, o resultado deixa de ser convexo na aresta DE... Mas os vértices D e E ligados a A, B, C e sem face em ABC, apenas 6 faces: DAB, DBC, DCA, EAB, EBC, ECA. Com E acima de D de forma que o ponto E fica dentro... a construção funciona, com uma reentrância. Logo II é verdadeira.

III. V - A + F = 7 - 16 + 11 = 2, a relação de Euler vale. Porém, cada vértice tem grau mínimo 3, logo 2A \ge 3V: 32 \ge 21, ok. Cada face tem ao menos 3 arestas, logo 2A \ge 3F: 32 \ge 33 é falso. Impossível. A afirmação III é falsa.

Apenas a II é correta.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa III engana porque V - A + F = 2 é satisfeita, mas os números violam 2A \ge 3F.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConsidera I verdadeira, mas 2A = 9 + 4q seria par igual a ímpar.
  • BAceita I e III; ambas são impossíveis.
  • CAceita III só porque Euler vale, mas 2A \ge 3F falha (32 < 33).
  • DConfia apenas na relação de Euler e esquece a condição 2A \ge 3F.

Assunto: Poliedros e relação de Euler.

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Fonte: ITA 2025 · 1ª fase. Prova oficial ↗