PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 do ITA 2025

1ª fase · Matemática · Matemática: Números complexos

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária. Os eixos horizontal e vertical são indicados respectivamente por O_x e O_y, e o centro do sistema, por O.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.

Seja z = a + 2i um número complexo, em que a \in \mathbb{R} é positivo. O valor de a para que as representações de 1, z e z^2 no plano de Argand-Gauss formem um triângulo de área 200 é

  1. A
    14.
  2. B
    15.
  3. C
    16.
  4. D
    17.
  5. E
    18.
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Resolução comentada

Cada número complexo x+yi é representado pelo ponto (x,y). Com z=a+2i, temos z^2=a^2-4+4ai. Os três vértices são:

A=(1,0), B=(a,2) e C=(a^2-4,\,4a).

A área de um triângulo é metade do módulo do determinante formado pelos vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.

  1. \overrightarrow{AB}=(a-1,\,2).
  2. \overrightarrow{AC}=(a^2-5,\,4a).
  3. Determinante: (a-1)(4a)-2(a^2-5)=4a^2-4a-2a^2+10=2a^2-4a+10.
  4. Área: \dfrac{|2a^2-4a+10|}{2}=a^2-2a+5. O módulo pode ser retirado porque 2a^2-4a+10 é sempre positivo (discriminante negativo).

Igualando a área a 200:

a^2-2a+5=200\Rightarrow a^2-2a-195=0
a=\frac{2\pm\sqrt{4+780}}{2}=\frac{2\pm 28}{2}

As raízes são a=15 e a=-13. Como a>0, fica a=15.

Conferindo: 225-30+5=200.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACom a=14 a área é 196-28+5=173, e não 200.
  • CCom a=16 a área é 256-32+5=229, e não 200.
  • DCom a=17 a área é 289-34+5=260, e não 200.
  • ECom a=18 a área é 324-36+5=293, e não 200.

Assuntos: Números complexos, Áreas e perímetros de polígonos.

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Fonte: ITA 2025 · 1ª fase. Prova oficial ↗