PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 do ITA 2025

1ª fase · Matemática · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária. Os eixos horizontal e vertical são indicados respectivamente por O_x e O_y, e o centro do sistema, por O.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.

Um número m \in \mathbb{N}, ao ser multiplicado por 16, resulta em um número com 231 divisores inteiros positivos. Considere as afirmações:

I. m é um número par.
II. m é um quadrado perfeito.
III. 16m tem 3 fatores primos distintos.

É(São) VERDADEIRA(S):

  1. A
    apenas I.
  2. B
    apenas II.
  3. C
    I e II.
  4. D
    I e III.
  5. E
    II e III.
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Resolução comentada

O número de divisores positivos de n = p_1^{a_1}\cdot p_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k} é (a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_k+1).

Fatorando: 231 = 3\cdot 7\cdot 11.

Como 231 é produto de três primos distintos, as fatorações possíveis em fatores maiores que 1 são:

  1. 231 (um primo, expoente 230);
  2. 3\cdot 77, 7\cdot 33 ou 11\cdot 21 (dois primos);
  3. 3\cdot 7\cdot 11 (três primos, expoentes 2, 6 e 10).

Como 16m = 2^4\cdot m, o expoente do 2 em 16m é pelo menos 4, então o fator a+1 do 2 é pelo menos 5. Isso elimina o fator 3 para o primo 2, e a+1 deve ser divisor de 231 com valor maior ou igual a 5. Além disso, a deve ser par ou ímpar conforme o caso, mas só precisa ser \ge 4.

Analisando cada caso:

  • a+1 = 7: a=6, ou a+1=11: a=10, ou a+1=21,33,77,231: a=20,32,76,230. Todos são \ge 4 e possíveis.

Em todos os casos, o expoente do 2 em 16m é a\ge 6, logo em m é a-4\ge 2. Então m é par: I é verdadeira.

Todos os expoentes de 16m são pares? Como a_i+1 é ímpar (divisor de 231), cada a_i é par. Assim 16m é quadrado perfeito, e como 16 é quadrado perfeito, m também é: II é verdadeira.

III é falsa: 16m pode ter 1 ou 2 primos distintos (ex.: 2^{230} ou 2^{10}\cdot3^{20}).

Alternativa C.

Pegadinha: A afirmação III engana por supor que 231 = 3·7·11 exige três primos distintos, mas outras fatorações de 231 permitem menos primos.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aignora que todos os expoentes de 16m são pares, pois 231 é ímpar, então m também é quadrado perfeito.
  • Besquece que o expoente do 2 em 16m é pelo menos 6, o que torna m par.
  • Dconsidera a III verdadeira, mas 16m pode ter só 1 ou 2 primos distintos.
  • Einclui a III, que é falsa, e exclui a I, que é verdadeira.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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Fonte: ITA 2025 · 1ª fase. Prova oficial ↗