PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 do ITA 2025

1ª fase · Matemática · Matemática: Cônicas e lugares geométricos

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária. Os eixos horizontal e vertical são indicados respectivamente por O_x e O_y, e o centro do sistema, por O.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.

Seja H uma hipérbole no plano cartesiano cujos focos são comuns aos focos da elipse E : \frac{x^2}{4} + y^2 = 1. Seja P um ponto de intersecção de E e H no primeiro quadrante e O a origem do sistema cartesiano. Sabendo que \overline{OP} forma um ângulo \theta com o eixo horizontal O_x, com \tan(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{6}, a excentricidade de H é

  1. A
    \frac{2\sqrt{3}}{3}.
  2. B
    \frac{\sqrt{6}}{2}.
  3. C
    \frac{3\sqrt{3}}{4}.
  4. D
    \frac{2\sqrt{6}}{3}.
  5. E
    \frac{3\sqrt{3}}{2}.
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Resolução comentada

Na elipse, a^2=4 e b^2=1, então c^2=4-1=3 e os focos são (\pm\sqrt3,0). A hipérbole H tem os mesmos focos, logo c=\sqrt3 também para ela.

O ponto P=(x,y) está no primeiro quadrante e \tg\theta=\dfrac{y}{x}=\dfrac{\sqrt3}{6}, ou seja, y=\dfrac{\sqrt3}{6}x.

  1. Substituindo na elipse: \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{3x^2}{36}=1, isto é, \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{x^2}{12}=1.
  2. Então \dfrac{3x^2+x^2}{12}=1, logo x^2=3 e x=\sqrt3.
  3. Assim y=\dfrac{\sqrt3}{6}\cdot\sqrt3=\dfrac12, e P=\left(\sqrt3,\tfrac12\right).

Na hipérbole, a diferença das distâncias aos focos vale 2a_H. Como P tem abscissa \sqrt3, ele está na vertical do foco F_2=(\sqrt3,0):

  • PF_2=\dfrac12;
  • PF_1=\sqrt{(2\sqrt3)^2+\left(\tfrac12\right)^2}=\sqrt{12+\tfrac14}=\dfrac{7}{2}.

Portanto 2a_H=\dfrac72-\dfrac12=3, ou seja, a_H=\dfrac32.

Verificação: a soma é \dfrac72+\dfrac12=4=2a da elipse, como deveria.

Excentricidade da hipérbole:

e=\frac{c}{a_H}=\frac{\sqrt3}{3/2}=\frac{2\sqrt3}{3}.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BNão corresponde a c/a_H com c=\sqrt3 e a_H=3/2; resulta de usar valores errados de a ou c.
  • CValor sem relação com c/a_H; vem de erro na diferença das distâncias focais.
  • DValor sem relação com c/a_H; provavelmente de usar c^2 errado.
  • EValor sem relação com c/a_H; seria a razão com a_H=1 multiplicada indevidamente.

Assunto: Cônicas e lugares geométricos.

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Fonte: ITA 2025 · 1ª fase. Prova oficial ↗