PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 do ITA 2025

1ª fase · Matemática · Matemática: Polinômios

Texto-base das questões 01 a 12 · 1ª fase

Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária. Os eixos horizontal e vertical são indicados respectivamente por O_x e O_y, e o centro do sistema, por O.

\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\} : denota o conjunto dos números naturais.
\mathbb{R} : denota o conjunto dos números reais.
i : denota a unidade imaginária, i^2 = -1.
\overline{AB} : denota o segmento de reta de extremidades nos pontos A e B.
AB : denota a reta que passa pelos pontos A e B.

Uma raiz comum aos polinômios p(x) = x^5 - x^3 + 12x - 18 e q(x) = x^4 - x^3 + 5x - 3 é

  1. A
    -1 + \sqrt{2}i.
  2. B
    \sqrt{2} + \sqrt{2}i.
  3. C
    \sqrt{2} + i.
  4. D
    1 + \sqrt{2}i.
  5. E
    -\sqrt{2} + i.
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Resolução comentada

Uma raiz comum de p e q também é raiz de qualquer combinação deles, como o resto da divisão de p por q. Vamos calcular esse resto.

  1. Divida p por q. O primeiro termo do quociente é x: x\cdot q = x^5 - x^4 + 5x^2 - 3x.
  2. p - xq = x^4 - x^3 - 5x^2 + 15x - 18.
  3. Subtraia q (segundo termo do quociente, 1): (x^4 - x^3 - 5x^2 + 15x - 18) - (x^4 - x^3 + 5x - 3) = -5x^2 + 10x - 15.

O resto é -5(x^2 - 2x + 3). Toda raiz comum é raiz de x^2 - 2x + 3 = 0.

Resolvendo: x = \dfrac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}\,i.

As raízes candidatas são 1 + \sqrt{2}i e 1 - \sqrt{2}i. Só a primeira aparece nas alternativas, e é a letra D.

Conferência: dividindo q por x^2 - 2x + 3 obtém-se x^2 + x - 1, pois (x^2-2x+3)(x^2+x-1) = x^4 - x^3 + 0x^2 + 5x - 3 confere. Logo x^2-2x+3 divide q e, como divide p e q, suas raízes são comuns.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ATem parte real -1, mas as raízes de x^2-2x+3 têm parte real +1.
  • B\sqrt{2}+\sqrt{2}i não é raiz de x^2-2x+3.
  • C\sqrt{2}+i não é raiz de x^2-2x+3; troca as partes real e imaginária.
  • E-\sqrt{2}+i não satisfaz x^2-2x+3=0.

Assuntos: Polinômios, Números complexos.

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Fonte: ITA 2025 · 1ª fase. Prova oficial ↗