PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 43 do ITA 2019

1ª fase · Matemática · Matemática: Inequações e desigualdades

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Notações

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
i : unidade imaginária i^2 = -1
\det(M) : determinante da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
M^T : transposta da matriz M
AB : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Considere as seguintes afirmações:

I. se n é um número natural, então \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \cdots + \frac{1}{2n} \geqslant \frac{1}{2}.

II. se x é um número real e x^3 + x + 1 = 0, então x^2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^6} = 0.

III. se a, b e c são números reais positivos que formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, então \frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}}, \frac{1}{\sqrt{c} + \sqrt{a}}, \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} formam, nessa ordem, uma progressão aritmética.

É(são) VERDADEIRA(S)

  1. A
    apenas I.
  2. B
    apenas I e II.
  3. C
    apenas I e III.
  4. D
    apenas II e III.
  5. E
    todas.
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Resolução comentada

I. Vale para n\ge 1. A soma tem n parcelas, e cada uma é no mínimo \frac{1}{2n} (a menor é a última). Logo a soma é \ge n\cdot\frac{1}{2n}=\frac12. Verdadeira. (Se n=0 fosse natural, a soma vazia seria 0, mas o contexto usa n\ge1.)

II. De x^3+x+1=0 temos x\neq 0 e x^3=-(x+1). Dividindo x^3+x+1=0 por x: x^2+1+\frac1x=0, então x^2+\frac1x=-1.

Agora, x^6=(x+1)^2. Precisamos de \frac1{x^6}=1, isto é, x^6=1. Mas x^6=1 implica x=\pm1, e nenhum dos dois é raiz (1+1+1=3; -1-1+1=-1). Logo \frac1{x^6}\neq1 e a expressão não vale 0. Confirmando: a expressão é -1+\frac1{x^6}, que só seria zero se x^6=1. Falsa.

III. Racionalizando cada termo:

\frac{1}{\sqrt b+\sqrt c}=\frac{\sqrt c-\sqrt b}{c-b}, \frac{1}{\sqrt c+\sqrt a}=\frac{\sqrt c-\sqrt a}{c-a}, \frac{1}{\sqrt a+\sqrt b}=\frac{\sqrt b-\sqrt a}{b-a}.

Como a,b,c estão em PA de razão r: c-b=r, c-a=2r, b-a=r (com r\neq0).

Os termos ficam \frac{\sqrt c-\sqrt b}{r}, \frac{\sqrt c-\sqrt a}{2r}, \frac{\sqrt b-\sqrt a}{r}.

Para ser PA, o dobro do termo do meio deve ser igual à soma dos extremos:

2\cdot\frac{\sqrt c-\sqrt a}{2r}=\frac{\sqrt c-\sqrt a}{r} e a soma dos extremos é \frac{\sqrt c-\sqrt b+\sqrt b-\sqrt a}{r}=\frac{\sqrt c-\sqrt a}{r}. Iguais, logo é PA. Se r=0, os três termos são iguais, e também é PA. Verdadeira.

São verdadeiras I e III.

Alternativa C.

Pegadinha: A afirmação II engana: após obter x^2+1/x=-1, o aluno pode esquecer de verificar se 1/x^6 vale 1, o que exigiria x=\pm1.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aignora que a III é verdadeira, pois racionalizando os termos a propriedade da PA se confirma.
  • Bconsidera a II verdadeira, mas ela vale -1+1/x^6, que não é zero, pois x^6\neq1.
  • Dconsidera a II verdadeira e deixa de fora a I, que é verdadeira.
  • Einclui a II, que é falsa.

Assuntos: Inequações e desigualdades, Progressão aritmética, Equações polinomiais e relações de Girard.

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Fonte: ITA 2019 · 1ª fase. Prova oficial ↗