PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 42 do ITA 2019

1ª fase · Matemática · Matemática: Números complexos

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Notações

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
i : unidade imaginária i^2 = -1
\det(M) : determinante da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
M^T : transposta da matriz M
AB : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Sabe-se que -2 + 2i é uma das raízes quartas de um número complexo z. Então, no plano de Argand-Gauss, a área do triângulo cujos vértices são as raízes cúbicas de z é igual a

  1. A
    4(\sqrt{3} + 1).
  2. B
    6\sqrt{3}.
  3. C
    8(\sqrt{3} - 1).
  4. D
    10\sqrt{3}.
  5. E
    12\sqrt{3}.
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Resolução comentada

Se -2+2i é raiz quarta de z, então z=(-2+2i)^4.

  1. Módulo de w=-2+2i: |w|=\sqrt{4+4}=2\sqrt{2}.
  2. Então |z|=|w|^4=(2\sqrt{2})^4=64.

As raízes cúbicas de z têm módulo \sqrt[3]{64}=4 e ficam igualmente espaçadas na circunferência, a 120^\circ uma da outra. Os três vértices formam, portanto, um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de raio R=4.

O argumento de z não altera a área, pois só gira o triângulo.

  1. Lado do triângulo equilátero inscrito: \ell=R\sqrt{3}=4\sqrt{3}.
  2. Área:
A=\frac{\ell^2\sqrt{3}}{4}=\frac{48\sqrt{3}}{4}=12\sqrt{3}

Conferindo pela fórmula com o raio: A=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2=\frac{3\sqrt{3}}{4}\cdot 16=12\sqrt{3}. Os resultados coincidem.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com o triângulo equilátero de raio 4; não resulta da fórmula da área.
  • BCorresponde a um raio \sqrt{8}, ou seja, usa o módulo de -2+2i em vez do módulo das raízes cúbicas.
  • CValor sem relação com o triângulo equilátero de raio 4.
  • DValor sem relação com o triângulo equilátero de raio 4; erro de conta na área.

Assuntos: Números complexos, Áreas e perímetros de polígonos.

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Fonte: ITA 2019 · 1ª fase. Prova oficial ↗