PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 44 do ITA 2019

1ª fase · Matemática · Matemática: Eventos sucessivos e distribuição binomial

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Notações

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
i : unidade imaginária i^2 = -1
\det(M) : determinante da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
M^T : transposta da matriz M
AB : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

As faces de dez moedas são numeradas de modo que: a primeira moeda tem faces 1 e 2; a segunda, 2 e 3; a terceira, 3 e 4, e assim sucessivamente até a décima moeda, com faces 10 e 11. As dez moedas são lançadas aleatoriamente e os números exibidos são somados. Então, a probabilidade de que essa soma seja igual a 60 é

  1. A
    \frac{63}{128}.
  2. B
    \frac{63}{256}.
  3. C
    \frac{63}{512}.
  4. D
    \frac{189}{512}.
  5. E
    \frac{189}{1024}.
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Resolução comentada

Cada moeda k (k de 1 a 10) mostra k ou k+1. Se escrevermos o resultado como k + x_k, onde x_k = 0 (sai k) ou x_k = 1 (sai k+1), a soma fica:

S = (1+2+\dots+10) + (x_1+\dots+x_{10}) = 55 + X

onde X é o número de moedas que mostraram a face maior.

  1. Queremos S = 60, ou seja, X = 5.
  2. Cada moeda tem probabilidade \frac{1}{2} de mostrar a face maior, de forma independente.
  3. O número de maneiras de escolher quais 5 das 10 moedas mostram a face maior é \binom{10}{5} = 252.
  4. O total de resultados possíveis é 2^{10} = 1024.
P = \frac{252}{1024} = \frac{63}{256}

As moedas são diferentes (faces distintas), então cada combinação de escolhas é um resultado distinto, e a contagem por \binom{10}{5} está correta.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ADobra o valor correto, como se o total fosse 2^9 em vez de 2^{10}.
  • CDivide por 2^{11}, metade do valor correto, errando o total de casos.
  • DUsa 189 = \binom{10}{3}\cdot algo inexistente, sem relação com X=5; corresponde a outro número de moedas.
  • EValor de 189/1024 vem de contagem incorreta de casos favoráveis (não é \binom{10}{5}).

Assuntos: Eventos sucessivos e distribuição binomial, Combinações e binômio de Newton.

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Fonte: ITA 2019 · 1ª fase. Prova oficial ↗