PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 41 do ITA 2019

1ª fase · Matemática · Matemática: Sistemas lineares

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Notações

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
i : unidade imaginária i^2 = -1
\det(M) : determinante da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
M^T : transposta da matriz M
AB : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Assinale a opção que identifica o lugar geométrico de todos os pares ordenados (a, b) \in \mathbb{R}^2 que tornam impossível o sistema linear

S : \begin{cases} -x + 5y = 10 \\ \left(\dfrac{a^2}{5} + 5b^2\right) x + 10aby = 1 \end{cases}.
  1. A
    Uma elipse
  2. B
    Uma reta
  3. C
    Uma parábola
  4. D
    Uma hipérbole
  5. E
    Um único ponto
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Resolução comentada

Um sistema 2\times 2 é impossível quando as retas são paralelas e distintas, isto é, quando o determinante dos coeficientes é zero e os termos independentes não mantêm a mesma proporção.

  1. Determinante dos coeficientes:

    \begin{vmatrix} -1 & 5 \\ \frac{a^2}{5}+5b^2 & 10ab \end{vmatrix} = -10ab - 5\left(\frac{a^2}{5}+5b^2\right) = -10ab - a^2 - 25b^2.

  2. Igualando a zero: a^2 + 10ab + 25b^2 = 0, ou seja, (a+5b)^2 = 0, o que dá a = -5b.

  3. Com a=-5b, a segunda equação fica: \left(5b^2+5b^2\right)x - 50b^2 y = 1, ou seja, 10b^2x - 50b^2y = 1.

  4. Se b=0 (então a=0), a segunda equação vira 0=1, absurdo: o sistema é impossível.

  5. Se b\neq 0, divida por -10b^2: -x + 5y = -\dfrac{1}{10b^2}. Como a primeira equação diz -x+5y=10, e -\dfrac{1}{10b^2}<0\neq 10, as retas são paralelas e distintas: impossível.

Logo, o sistema é impossível para todo par com a=-5b (incluindo (0,0)). Isso é a reta a+5b=0 no plano (a,b).

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa E engana quem vê o quadrado perfeito e pensa que ele só se anula na origem, esquecendo que (a+5b)^2=0 tem infinitas soluções.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AA condição (a+5b)^2=0 é um quadrado perfeito que dá uma reta, não uma elipse.
  • CNão há termo quadrado isolado; a equação (a+5b)^2=0 se reduz a uma reta, não a uma parábola.
  • DUma hipérbole exigiria discriminante positivo na forma quadrática, mas aqui ele é nulo.
  • EAcha só o caso a=b=0, ignorando que todo ponto com a=-5b torna o sistema impossível.

Assuntos: Sistemas lineares, Cônicas e lugares geométricos.

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Fonte: ITA 2019 · 1ª fase. Prova oficial ↗