PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 40 do ITA 2019

1ª fase · Matemática · Matemática: Cone e tronco de cone

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Notações

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
i : unidade imaginária i^2 = -1
\det(M) : determinante da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
M^T : transposta da matriz M
AB : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

A superfície lateral de um cone circular reto corresponde a um setor circular de 216^\circ, quando planificada. Se a geratriz do cone mede 10\text{ cm}, então a medida de sua altura, em cm, é igual a

  1. A
    5.
  2. B
    6.
  3. C
    7.
  4. D
    8.
  5. E
    9.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Ao planificar a superfície lateral do cone, obtemos um setor circular cujo raio é a geratriz g = 10\ \text{cm}. O arco desse setor é exatamente a circunferência da base do cone.

  1. Comprimento do arco do setor, com ângulo de 216^\circ e raio 10:
\ell = \frac{216}{360}\cdot 2\pi\cdot 10 = 0{,}6\cdot 20\pi = 12\pi\ \text{cm}
  1. Esse arco é a circunferência da base, de raio r:
2\pi r = 12\pi \Rightarrow r = 6\ \text{cm}
  1. No cone reto, a altura h, o raio r e a geratriz g formam um triângulo retângulo, com g como hipotenusa:
h^2 + r^2 = g^2 \Rightarrow h^2 = 100 - 36 = 64 \Rightarrow h = 8\ \text{cm}

A altura do cone mede 8\ \text{cm}.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa B engana quem para no raio da base (r=6) e o toma como a altura.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com os cálculos; não decorre de h^2=g^2-r^2 com r=6.
  • BConfunde a altura com o raio da base, que vale 6.
  • CNão resulta de nenhuma etapa correta; o Pitágoras com r=6 e g=10 dá 8.
  • EResultado de um raio da base errado; com r=6 a conta correta dá 8, não 9.

Assuntos: Cone e tronco de cone, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Fonte: ITA 2019 · 1ª fase. Prova oficial ↗