PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 38 do ITA 2019

1ª fase · Matemática · Matemática: Progressão aritmética

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Notações

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
i : unidade imaginária i^2 = -1
\det(M) : determinante da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
M^T : transposta da matriz M
AB : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Seja p(x) = x^3 + ax^2 + bx um polinômio cujas raízes são não negativas e estão em progressão aritmética. Sabendo que a soma de seus coeficientes é igual a 10, podemos afirmar que a soma das raízes de p(x) é igual a

  1. A
    9.
  2. B
    8.
  3. C
    3.
  4. D
    \frac{9}{2}.
  5. E
    10.
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Resolução comentada

Como p(x)=x^3+ax^2+bx não tem termo independente, 0 é raiz. As raízes são não negativas e estão em PA, então a ordem crescente é 0, r, 2r com r\geq 0. O caso r=0 dá p(x)=x^3, que tem soma de coeficientes igual a 1, e isso contradiz o enunciado. Logo r>0.

Assim:

p(x)=x(x-r)(x-2r)=x^3-3r x^2+2r^2 x

Portanto a=-3r e b=2r^2.

A soma dos coeficientes é p(1):

  1. p(1)=1+a+b=1-3r+2r^2
  2. Igualando a 10: 2r^2-3r+1=10, ou seja, 2r^2-3r-9=0
  3. Discriminante: \Delta=9+72=81, então r=\dfrac{3\pm 9}{4}
  4. Como r>0, r=3 (a outra solução, -\dfrac{3}{2}, é negativa e daria raízes negativas)

As raízes são 0,\,3,\,6 e a soma é 9.

Conferindo pelas relações de Girard: soma das raízes =-a=3r=9. Também p(1)=1\cdot(1-3)(1-6)=10, o que confere.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa E engana ao colocar o valor 10, que é a soma dos coeficientes dada no enunciado, e não a soma das raízes; a C usa a razão 3.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BNão corresponde a nenhuma razão válida; a PA 0,r,2r com p(1)=10 força r=3 e soma 9.
  • CConfunde a razão r=3 com a soma das raízes, que é 3r=9.
  • DVem de usar valores incorretos da equação em r, como r=3/2 em módulo, ignorando o sinal e a condição de raízes não negativas.
  • EConfunde a soma dos coeficientes, que vale 10, com a soma das raízes.

Assuntos: Progressão aritmética, Equações polinomiais e relações de Girard.

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Fonte: ITA 2019 · 1ª fase. Prova oficial ↗