PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 39 do ITA 2019

1ª fase · Matemática · Matemática: Equação da circunferência

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Notações

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
i : unidade imaginária i^2 = -1
\det(M) : determinante da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
M^T : transposta da matriz M
AB : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Seja \gamma a circunferência de equação x^2 + y^2 = 4. Se r e s são duas retas que se interceptam no ponto P = (1, 3) e são tangentes a \gamma, então o cosseno do ângulo entre r e s é igual a

  1. A
    \frac{1}{5}.
  2. B
    \frac{\sqrt{7}}{7}.
  3. C
    \frac{1}{2}.
  4. D
    \frac{\sqrt{2}}{2}.
  5. E
    \frac{2\sqrt{6}}{5}.
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Resolução comentada

A circunferência tem centro O=(0,0) e raio 2. O ponto P=(1,3) é externo, pois 1^2+3^2=10>4.

As duas tangentes partem de P. Seja \theta o ângulo entre elas. A reta PO é bissetriz desse ângulo, e cada tangente forma com PO um ângulo \alpha=\theta/2. O raio até o ponto de tangência é perpendicular à tangente, então forma-se um triângulo retângulo com hipotenusa PO e cateto oposto a \alpha igual ao raio.

  1. Distância PO=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}.
  2. \sen\alpha=\dfrac{R}{PO}=\dfrac{2}{\sqrt{10}}, logo \sen^2\alpha=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}.
  3. Pela identidade do arco duplo, \cos\theta=\cos 2\alpha=1-2\sen^2\alpha.
  4. Substituindo: \cos\theta=1-2\cdot\dfrac{2}{5}=1-\dfrac{4}{5}=\dfrac{1}{5}.

Como o cosseno é positivo, o ângulo entre as retas é agudo e vale esse resultado. Conferindo: \cos\alpha=\sqrt{3/5}, \sen\alpha=\sqrt{2/5}, então \cos2\alpha=\tfrac35-\tfrac25=\tfrac15. Confere.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BValor sem relação com as tangentes; não decorre de 1-2\sen^2\alpha com \sen\alpha=2/\sqrt{10}.
  • CCorresponderia a um ângulo de 60°, o que exigiria PO=4, e aqui PO=\sqrt{10}.
  • DCorresponderia a 45°, o que exigiria PO=2\sqrt{2}, não \sqrt{10}.
  • EÉ o valor de \sen\theta (ou \cos do complemento), não de \cos\theta; confunde seno com cosseno do ângulo entre as retas.

Assuntos: Equação da circunferência, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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Fonte: ITA 2019 · 1ª fase. Prova oficial ↗