PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 37 do ITA 2019

1ª fase · Matemática · Matemática: Identidades, adição de arcos e arco duplo

Texto-base das questões 37 a 48 · 1ª fase

Notações

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
i : unidade imaginária i^2 = -1
\det(M) : determinante da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
M^T : transposta da matriz M
AB : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Considere um retângulo ABCD em que o comprimento do lado AB é o dobro do comprimento do lado BC. Sejam M o ponto médio de BC e N o ponto médio de CM. A tangente do ângulo M\hat{A}N é igual a

  1. A
    \frac{1}{35}.
  2. B
    \frac{2}{35}.
  3. C
    \frac{4}{35}.
  4. D
    \frac{8}{35}.
  5. E
    \frac{16}{35}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Coloque coordenadas: B=(0,0), A=(0,2a) e C=(a,0), com BC=a e AB=2a. Para simplificar, tome a=4: A=(0,8), B=(0,0), C=(4,0).

M é o ponto médio de BC, então M=(2,0). N é o ponto médio de CM, então N=(3,0).

O ângulo M\hat{A}N é a diferença entre os ângulos que AN e AM fazem com a reta AB (vertical). Seja \alpha = B\hat{A}M e \beta = B\hat{A}N. No triângulo retângulo ABM e no ABN:

  1. \tg\alpha = \dfrac{BM}{AB} = \dfrac{2}{8} = \dfrac14
  2. \tg\beta = \dfrac{BN}{AB} = \dfrac{3}{8}

Como M\hat{A}N = \beta - \alpha, usamos a fórmula da tangente da diferença:

\tg(\beta-\alpha)=\frac{\tg\beta-\tg\alpha}{1+\tg\beta\,\tg\alpha}=\frac{\frac38-\frac14}{1+\frac38\cdot\frac14}=\frac{\frac18}{\frac{35}{32}}
=\frac18\cdot\frac{32}{35}=\frac{4}{35}

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com a diferença de tangentes; erra a simplificação da fração final.
  • BResultado da metade do correto, provavelmente por erro ao dividir \frac18 por \frac{35}{32}.
  • DDobro do valor correto, por inverter a conta com \frac{32}{35} e esquecer de dividir por 8 corretamente.
  • EQuádruplo do valor correto, resultado de erro de cálculo na fração da diferença.

Assunto: Identidades, adição de arcos e arco duplo.

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Fonte: ITA 2019 · 1ª fase. Prova oficial ↗