Questão 8 (Matemática) do ITA 2018

Question

As raízes do polinômio 1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6 + z^7, quando representadas no plano complexo, formam os vértices de um polígono convexo cuja área é

A
\frac{\sqrt{2} - 1}{2}.
B
\frac{\sqrt{2} + 1}{2}.
C
\sqrt{2}.
D
\frac{3\sqrt{2} + 1}{2}.
E
3\sqrt{2}.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 8 (Matemática) do ITA 2018

Matemática · Matemática: Números complexos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R}	: conjunto dos números reais
\mathbb{N}	: conjunto dos números naturais
\mathbb{C}	: conjunto dos números complexos
i	: unidade imaginária: i^2 = -1
\vert z \vert	: módulo do número z \in \mathbb{C}
\det A	: determinante da matriz A
\mathrm{d}(A, B)	: distância do ponto A ao ponto B
\mathrm{d}(P, r)	: distância do ponto P à reta r
\overline{AB}	: segmento de extremidades nos pontos A e B
\hat{A}	: medida do ângulo do vértice A
[a, b]	= \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[	= \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}
]a, b]	= \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}
]a, b[	= \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
(f \circ g)(x)	= f(g(x))
X \setminus Y	= \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}
\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k	= a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n, sendo n inteiro não negativo

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

As raízes do polinômio 1 + z + z^2 + z^3 + z^4 + z^5 + z^6 + z^7, quando representadas no plano complexo, formam os vértices de um polígono convexo cuja área é

A
\frac{\sqrt{2} - 1}{2}.
B
\frac{\sqrt{2} + 1}{2}.
C
\sqrt{2}.
D
\frac{3\sqrt{2} + 1}{2}.
E
3\sqrt{2}.

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Multiplicando o polinômio por z-1, obtemos

(z-1)(1+z+\cdots+z^7)=z^8-1.

Assim, suas raízes são as soluções de z^8=1, exceto z=1, pois o polinômio original vale 8 nesse ponto.

As oito soluções de z^8=1 têm módulo 1 e argumentos igualmente espaçados de \pi/4. Portanto, formam um octógono regular inscrito na circunferência de raio 1. As sete raízes do polinômio formam o polígono obtido ao retirar o vértice (1,0).

Unindo o centro aos vértices do octógono, temos oito triângulos com dois lados de comprimento 1 e ângulo entre eles de \pi/4. Logo, a área do octógono é

A_8=8\cdot\frac{1\cdot1\cdot\sen(\pi/4)}{2}=2\sqrt2.
A região retirada é o triângulo formado por (1,0) e seus dois vizinhos, (\sqrt2/2,\pm\sqrt2/2). Sua base mede \sqrt2 e sua altura é 1-\sqrt2/2. Portanto,

A_{\text{retirada}}=\frac{\sqrt2(1-\sqrt2/2)}{2}=\frac{\sqrt2-1}{2}.

Subtraindo essa região, encontramos a área pedida:

A=2\sqrt2-\frac{\sqrt2-1}{2}=\frac{3\sqrt2+1}{2}.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AApresenta apenas a área do triângulo retirado, não a do polígono restante.
BNão corresponde à diferença entre a área do octógono e a do triângulo retirado.
CApresenta metade da área do octógono, mas a região retirada não é metade dele.
EÉ maior que a área do octógono completo, que vale 2\sqrt2.

Assuntos: Números complexos, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 8 no caderno Matemática do ITA 2018

Fonte: ITA 2018 · Matemática. Prova oficial ↗