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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 (Matemática) do ITA 2018

Matemática · Matemática: Equação da circunferência

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
\vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\det A : determinante da matriz A
\mathrm{d}(A, B) : distância do ponto A ao ponto B
\mathrm{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B
\hat{A} : medida do ângulo do vértice A
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}
]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
(f \circ g)(x) = f(g(x))
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}
\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n, sendo n inteiro não negativo

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Considere a definição: duas circunferências são ortogonais quando se interceptam em dois pontos distintos e nesses pontos suas tangentes são perpendiculares. Com relação às circunferências C_1 : x^2 + (y + 4)^2 = 7, C_2 : x^2 + y^2 = 9 e C_3 : (x - 5)^2 + y^2 = 16, podemos afirmar que

  1. A
    somente C_1 e C_2 são ortogonais.
  2. B
    somente C_1 e C_3 são ortogonais.
  3. C
    C_2 é ortogonal a C_1 e a C_3.
  4. D
    C_1, C_2 e C_3 são ortogonais duas a duas.
  5. E
    não há ortogonalidade entre as circunferências.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Duas circunferências são ortogonais quando as tangentes em um ponto de interseção são perpendiculares. Como a tangente é perpendicular ao raio, isso equivale a os raios até esse ponto serem perpendiculares. Então o triângulo formado pelos dois centros e o ponto de interseção é retângulo no ponto, e vale d^2 = r_1^2 + r_2^2, em que d é a distância entre os centros.

Centros e raios:

  • C_1: centro (0,-4), r_1=\sqrt7.
  • C_2: centro (0,0), r_2=3.
  • C_3: centro (5,0), r_3=4.

Testando cada par:

  1. C_1 e C_2: d=4, então d^2=16. Já r_1^2+r_2^2=7+9=16. Vale a igualdade, logo são ortogonais.
  2. C_2 e C_3: d=5, então d^2=25. Já r_2^2+r_3^2=9+16=25. Vale a igualdade, logo são ortogonais.
  3. C_1 e C_3: d^2=5^2+4^2=41. Já r_1^2+r_3^2=7+16=23. Não vale, logo não são ortogonais.

Assim, C_2 é ortogonal a C_1 e a C_3, mas C_1 e C_3 não são ortogonais entre si.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AEsquece que C_2 e C_3 também são ortogonais (25=9+16).
  • BC_1 e C_3 não satisfazem d^2=r_1^2+r_3^2, pois 41\neq 23.
  • DC_1 e C_3 não são ortogonais, então não vale para todos os pares.
  • EHá dois pares ortogonais: C_1C_2 e C_2C_3.

Assunto: Equação da circunferência.

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Fonte: ITA 2018 · Matemática. Prova oficial ↗