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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 9 (Matemática) do ITA 2018

Matemática · Matemática: Logaritmos e função logarítmica

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
\vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\det A : determinante da matriz A
\mathrm{d}(A, B) : distância do ponto A ao ponto B
\mathrm{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B
\hat{A} : medida do ângulo do vértice A
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}
]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
(f \circ g)(x) = f(g(x))
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}
\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n, sendo n inteiro não negativo

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Se \log_2 \pi = a e \log_5 \pi = b, então

  1. A
    \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \le \dfrac{1}{2}.
  2. B
    \dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \le 1.
  3. C
    1 < \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \le \dfrac{3}{2}.
  4. D
    \dfrac{3}{2} < \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \le 2.
  5. E
    2 < \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Use a mudança de base: \log_2 \pi = a significa a=\dfrac{\log \pi}{\log 2}, logo \dfrac{1}{a}=\log_\pi 2. Do mesmo modo, \dfrac{1}{b}=\log_\pi 5.

  1. Some os dois: \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\log_\pi 2+\log_\pi 5=\log_\pi 10.

  2. Compare 10 com potências de \pi. Como \pi>1, a função \log_\pi é crescente.

  3. Temos \pi^2\approx 9{,}87<10, então \log_\pi 10>2.

  4. Confirme: \pi^2 = 9{,}8696..., que é de fato menor que 10, pois \pi<\sqrt{10}\approx 3{,}162 e \pi\approx 3{,}1416.

Portanto \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\log_\pi 10>\log_\pi \pi^2=2.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASupõe a soma pequena; na verdade \log_\pi 10 é maior que 2.
  • BIgnora que \pi^2<10, o que dá \log_\pi 10>2, não entre 1/2 e 1.
  • CEstima \log_\pi 10 entre 1 e 3/2, mas \pi^{3/2}\approx 5{,}6<10.
  • DLimita a soma em 2, mas \pi^2<10 implica soma maior que 2.

Assunto: Logaritmos e função logarítmica.

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Fonte: ITA 2018 · Matemática. Prova oficial ↗