Correção ITA 2027 · PortuguêsAcompanhe a resolução de cada questão da 2ª fase, ao vivoAcompanhar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Matemática) do ITA 2018

Matemática · Matemática: Função afim

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
\vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\det A : determinante da matriz A
\mathrm{d}(A, B) : distância do ponto A ao ponto B
\mathrm{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B
\hat{A} : medida do ângulo do vértice A
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}
]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
(f \circ g)(x) = f(g(x))
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}
\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n, sendo n inteiro não negativo

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Considere as funções f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} dadas por f(x) = ax + b e g(x) = cx + d, com a, b, c, d \in \mathbb{R}, a \neq 0 e c \neq 0. Se f^{-1} \circ g^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}, então uma relação entre as constantes a, b, c e d é dada por

  1. A
    b + ad = d + bc.
  2. B
    d + ba = c + db.
  3. C
    a + db = b + cd.
  4. D
    b + ac = d + ba.
  5. E
    c + da = b + cd.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Se f^{-1}\circ g^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}, então (g\circ f)^{-1}=(f\circ g)^{-1}. Como a inversa é única e a inversa da inversa é a própria função, isso equivale a f\circ g=g\circ f. Basta então impor que f e g comutam.

  1. Calculamos f(g(x))=a(cx+d)+b=acx+ad+b.

  2. Calculamos g(f(x))=c(ax+b)+d=acx+bc+d.

  3. Igualamos as duas expressões. Os termos em x (acx) já são iguais, então sobra a igualdade dos termos independentes: ad+b=bc+d.

  4. Reordenando, obtemos b+ad=d+bc.

Essa relação é exatamente a da alternativa A. Conferindo as outras: elas misturam as constantes de forma que não decorre de ad+b=bc+d, pois o coeficiente a multiplica d e o coeficiente c multiplica b.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Btroca os papéis dos coeficientes: multiplica b por a e d por b, o que não sai de f\circ g=g\circ f.
  • Cinclui a e c isolados como termos somados, algo que não aparece na igualdade dos termos independentes.
  • Dusa o produto ac como termo, mas ele já se cancela na comparação do coeficiente de x.
  • Esoma c e da de forma que não corresponde a nenhum termo independente de f(g(x)) ou g(f(x)).

Assuntos: Função afim, Conceito de função, composta e inversa.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 4 no caderno Matemática do ITA 2018

Fonte: ITA 2018 · Matemática. Prova oficial ↗