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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Matemática) do ITA 2018

Matemática · Matemática: Combinações e binômio de Newton

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
\vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\det A : determinante da matriz A
\mathrm{d}(A, B) : distância do ponto A ao ponto B
\mathrm{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B
\hat{A} : medida do ângulo do vértice A
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}
]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
(f \circ g)(x) = f(g(x))
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}
\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n, sendo n inteiro não negativo

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Sejam a e b números inteiros positivos. Se a e b são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão geométrica de razão \frac{1}{2} e o termo independente de \left(ax - \frac{b}{\sqrt{x}}\right)^{12} é igual a 7920, então a + b é

  1. A
    2.
  2. B
    3.
  3. C
    4.
  4. D
    5.
  5. E
    6.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Como a e b são termos consecutivos, nessa ordem, de uma PG de razão \frac{1}{2}, temos b = \frac{a}{2}, ou seja, a = 2b.

O termo geral do binômio \left(ax - \frac{b}{\sqrt{x}}\right)^{12} é:

T_{k+1} = \binom{12}{k}(ax)^{12-k}\left(-\frac{b}{\sqrt{x}}\right)^{k} = \binom{12}{k}a^{12-k}(-b)^k\,x^{12-k-\frac{k}{2}}

O termo independente exige expoente de x igual a zero:

12 - \frac{3k}{2} = 0 \Rightarrow k = 8.

Então o termo independente é:

\binom{12}{8}a^{4}b^{8} = 495\,a^4b^8

(o sinal é positivo, pois k=8 é par).

Igualando a 7920:

  1. 495\,a^4b^8 = 7920 \Rightarrow a^4b^8 = 16.
  2. Substituindo a = 2b: 16b^4\cdot b^8 = 16 \Rightarrow b^{12} = 1.
  3. Como b é inteiro positivo, b = 1 e a = 2.

Logo a + b = 3.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ASoma menor que o possível: a+b=2 daria a=b=1, que não forma PG de razão 1/2 nem dá 7920.
  • CValor sem relação com b=1, a=2; ocorre ao errar a razão ou o expoente de k.
  • DNão satisfaz a=2b com b^{12}=1.
  • ENão satisfaz a=2b com b^{12}=1.

Assuntos: Combinações e binômio de Newton, Progressão geométrica.

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Fonte: ITA 2018 · Matemática. Prova oficial ↗