Questão 5 (Matemática) do ITA 2018

Question

Sejam x_1, \ldots, x_5 e y_1, \ldots, y_5 números reais arbitrários e A = (a_{ij}) uma matriz 5 \times 5 definida por a_{ij} = x_i + y_j, 1 \le i, j \le 5. Se r é a característica da matriz A, então o maior valor possível de r é

A
1.
B
2.
C
3.
D
4.
E
5.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Matemática) do ITA 2018

Matemática · Matemática: Matrizes e determinantes

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R}	: conjunto dos números reais
\mathbb{N}	: conjunto dos números naturais
\mathbb{C}	: conjunto dos números complexos
i	: unidade imaginária: i^2 = -1
\vert z \vert	: módulo do número z \in \mathbb{C}
\det A	: determinante da matriz A
\mathrm{d}(A, B)	: distância do ponto A ao ponto B
\mathrm{d}(P, r)	: distância do ponto P à reta r
\overline{AB}	: segmento de extremidades nos pontos A e B
\hat{A}	: medida do ângulo do vértice A
[a, b]	= \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[	= \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}
]a, b]	= \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}
]a, b[	= \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
(f \circ g)(x)	= f(g(x))
X \setminus Y	= \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}
\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k	= a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n, sendo n inteiro não negativo

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Sejam x_1, \ldots, x_5 e y_1, \ldots, y_5 números reais arbitrários e A = (a_{ij}) uma matriz 5 \times 5 definida por a_{ij} = x_i + y_j, 1 \le i, j \le 5. Se r é a característica da matriz A, então o maior valor possível de r é

A
1.
B
2.
C
3.
D
4.
E
5.

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Resolução comentada

Cada linha da matriz tem a forma L_i = (x_i + y_1, \ldots, x_i + y_5). Separando a parte que depende de i da que depende de j:

L_i = x_i\,(1,1,1,1,1) + (y_1,y_2,y_3,y_4,y_5)

Assim, toda linha é combinação linear de apenas dois vetores fixos: u=(1,1,1,1,1) e v=(y_1,\ldots,y_5). Então as linhas pertencem ao subespaço gerado por u e v, que tem dimensão no máximo 2.

A característica (posto) é a dimensão do espaço gerado pelas linhas, portanto r \le 2.

É possível chegar a 2? Sim: tome x_i = i e y_j = j^2, por exemplo. Então L_1 e L_2 não são proporcionais, já que L_2 - L_1 = (1,1,1,1,1) e L_1 não é múltiplo de (1,1,1,1,1) (as entradas de L_1 são 2,5,10,17,26, todas diferentes). Logo o posto é 2.

Portanto o maior valor possível de r é 2.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AO posto 1 só ocorre em casos particulares (por exemplo, todos os x_i iguais); é possível chegar a 2.
CIgnora que cada linha é combinação de só dois vetores fixos, o que limita o posto a 2.
DSupõe que o posto cresce com o número de linhas, sem notar a dependência linear.
ETrata a matriz como arbitrária e geral, mas a estrutura x_i+y_j impõe dependência linear.

Assunto: Matrizes e determinantes.

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Questão 5 no caderno Matemática do ITA 2018

Fonte: ITA 2018 · Matemática. Prova oficial ↗