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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Matemática) do ITA 2018

Matemática · Matemática: Polinômios

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
\vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\det A : determinante da matriz A
\mathrm{d}(A, B) : distância do ponto A ao ponto B
\mathrm{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B
\hat{A} : medida do ângulo do vértice A
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}
]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
(f \circ g)(x) = f(g(x))
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}
\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n, sendo n inteiro não negativo

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Se x é um número real que satisfaz x^3 = x + 2, então x^{10} é igual a

  1. A
    5x^2 + 7x + 9.
  2. B
    3x^2 + 6x + 8.
  3. C
    13x^2 + 16x + 12.
  4. D
    7x^2 + 5x + 9.
  5. E
    9x^2 + 3x + 10.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

A ideia é usar a relação x^3 = x + 2 para reduzir qualquer potência de x a um polinômio de grau no máximo 2.

  1. x^3 = x + 2.
  2. x^4 = x\cdot x^3 = x^2 + 2x.
  3. x^5 = x^3 + 2x^2 = 2x^2 + x + 2.

Agora, para chegar a x^{10}, elevamos x^5 ao quadrado:

x^{10} = (2x^2 + x + 2)^2 = 4x^4 + 4x^3 + 9x^2 + 4x + 4

Conferindo o desenvolvimento: (2x^2)^2 = 4x^4; 2\cdot 2x^2\cdot x = 4x^3; 2\cdot 2x^2\cdot 2 = 8x^2 e x^2, somando 9x^2; 2\cdot x\cdot 2 = 4x; 2^2 = 4.

Substituindo x^4 = x^2 + 2x e x^3 = x + 2:

  • 4x^4 = 4x^2 + 8x
  • 4x^3 = 4x + 8

Somando tudo:

x^{10} = (4x^2 + 8x) + (4x + 8) + 9x^2 + 4x + 4 = 13x^2 + 16x + 12

Verificação rápida: x\approx1{,}52 dá x^{10}\approx 63{,}9, e 13(2{,}31)+16(1{,}52)+12\approx 66{,}4; como x\approx1{,}5214, x^2\approx2{,}3146, o valor é 30{,}09+24{,}34+12=66{,}4, e x^{10} de fato é cerca de 66{,}4 (pois x^5\approx 7{,}98 e 7{,}98^2\approx 63{,}7... a diferença vem do arredondamento de x^5: 2(2{,}3146)+1{,}5214+2=8{,}15 e 8{,}15^2\approx66{,}4).

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AResultado de erro na redução das potências; não coincide com 13x^2+16x+12 obtido ao reduzir x^{10}.
  • BCoeficientes não correspondem à redução correta de (2x^2+x+2)^2 usando x^3=x+2.
  • DCoeficientes incorretos, provável erro ao substituir x^4 e x^3 no quadrado de x^5.
  • ECoeficientes incorretos, não resulta da redução correta de x^{10}.

Assunto: Polinômios.

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Fonte: ITA 2018 · Matemática. Prova oficial ↗