Correção ITA 2027 · PortuguêsAcompanhe a resolução de cada questão da 2ª fase, ao vivoAcompanhar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 18 (Matemática) do ITA 2018

Matemática · Matemática: Matrizes e determinantes

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
\vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\det A : determinante da matriz A
\mathrm{d}(A, B) : distância do ponto A ao ponto B
\mathrm{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B
\hat{A} : medida do ângulo do vértice A
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}
]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
(f \circ g)(x) = f(g(x))
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}
\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n, sendo n inteiro não negativo

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Uma progressão aritmética (a_1, a_2, \text{...}, a_n) satisfaz a propriedade: para cada n \in \mathbb{N}, a soma da progressão é igual a 2n^2 + 5n. Nessas condições, o determinante da matriz \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ a_4 & a_5 & a_6 \\ a_7 + 2 & a_8 & a_9 \end{bmatrix} é

  1. A
    -96.
  2. B
    -85.
  3. C
    63.
  4. D
    99.
  5. E
    115.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

A soma dos n primeiros termos é S_n = 2n^2+5n. O termo geral sai da diferença a_n = S_n - S_{n-1}, e a_1 = S_1.

  1. a_1 = S_1 = 2+5 = 7.
  2. Para n\ge 2: a_n = 2n^2+5n - [2(n-1)^2+5(n-1)] = 4n+3. Para n=1 isso dá 7, então a fórmula vale para todo n.
  3. Como a_n = 4n+3, a razão é r=4.

Termos: a_1=7,\ a_2=11,\ a_3=15,\ a_4=19,\ a_5=23,\ a_6=27,\ a_7=31,\ a_8=35,\ a_9=39.

Com o +2 na posição de a_7, a matriz fica:

\begin{bmatrix} 7 & 11 & 15\\ 19 & 23 & 27\\ 33 & 35 & 39\end{bmatrix}

Para o determinante, uso a operação L_2 \to L_2 - L_1 e L_3\to L_3-L_1, que não altera o valor:

\begin{bmatrix} 7 & 11 & 15\\ 12 & 12 & 12\\ 26 & 24 & 24\end{bmatrix}

Colocando 12 em evidência na linha 2, sobra a linha (1,1,1). Expandindo pela linha 2:

\det = 12\cdot\left[-1\cdot(11\cdot24-15\cdot24) + 1\cdot(7\cdot24-15\cdot26) - 1\cdot(7\cdot24-11\cdot26)\right]

Isso corresponde a: -1\cdot(264-360) = 96; +1\cdot(168-390) = -222; -1\cdot(168-286) = 118.

Soma: 96-222+118 = -8. Então \det = 12\cdot(-8) = -96.

Alternativa A.

Pegadinha: Esquecer o +2 na posição de a_7 muda o determinante, pois com a_7=31 a matriz teria linhas em PA e determinante zero.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BErro de sinal ou de conta no desenvolvimento do determinante; não corresponde ao valor correto -96.
  • CValor sem relação com a matriz correta, resultado de erro de cálculo.
  • DProvável erro de sinal nos cofatores ou ao esquecer o +2 em a_7.
  • EValor obtido por erro de cálculo no determinante, sem correspondência com a matriz correta.

Assuntos: Matrizes e determinantes, Progressão aritmética.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 18 no caderno Matemática do ITA 2018

Fonte: ITA 2018 · Matemática. Prova oficial ↗