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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 19 (Matemática) do ITA 2018

Matemática · Matemática: Probabilidade: conceitos básicos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
\vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\det A : determinante da matriz A
\mathrm{d}(A, B) : distância do ponto A ao ponto B
\mathrm{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B
\hat{A} : medida do ângulo do vértice A
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}
]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
(f \circ g)(x) = f(g(x))
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}
\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n, sendo n inteiro não negativo

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

São dadas duas caixas, uma delas contém três bolas brancas e duas pretas e a outra contém duas bolas brancas e uma preta. Retira-se, ao acaso, uma bola de cada caixa. Se P_1 é a probabilidade de que pelo menos uma bola seja preta e P_2 a probabilidade de as duas bolas serem da mesma cor, então P_1 + P_2 vale

  1. A
    \dfrac{8}{15}.
  2. B
    \dfrac{7}{15}.
  3. C
    \dfrac{6}{15}.
  4. D
    1.
  5. E
    \dfrac{17}{15}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Caixa 1: 3 brancas e 2 pretas (5 bolas). Caixa 2: 2 brancas e 1 preta (3 bolas). As retiradas são independentes, então multiplicamos as probabilidades.

Cálculo de P_1: é mais fácil usar o complementar. "Pelo menos uma preta" é o oposto de "as duas brancas".

  1. P(\text{branca na caixa 1}) = \dfrac{3}{5}
  2. P(\text{branca na caixa 2}) = \dfrac{2}{3}
  3. P(\text{duas brancas}) = \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{2}{3} = \dfrac{6}{15}
  4. P_1 = 1 - \dfrac{6}{15} = \dfrac{9}{15}

Cálculo de P_2: mesma cor significa duas brancas ou duas pretas.

  1. Duas brancas: \dfrac{6}{15}
  2. Duas pretas: \dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{15}
  3. P_2 = \dfrac{6}{15} + \dfrac{2}{15} = \dfrac{8}{15}

Soma:

P_1 + P_2 = \dfrac{9}{15} + \dfrac{8}{15} = \dfrac{17}{15}

Como a soma de duas probabilidades pode passar de 1 (os eventos não são excludentes), o resultado é válido.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana quem acha que P_1 e P_2 são complementares; os eventos se sobrepõem (duas pretas), e a soma passa de 1.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACorresponde apenas a P_2, esquecendo de somar P_1.
  • BValor sem relação com o cálculo correto de P_1 e P_2.
  • CÉ a probabilidade de duas brancas, confundida com a soma pedida.
  • DSupõe que os eventos sejam complementares, o que não ocorre: duas pretas está em P_1 e em P_2.

Assuntos: Probabilidade: conceitos básicos, Eventos sucessivos e distribuição binomial.

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Fonte: ITA 2018 · Matemática. Prova oficial ↗