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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 17 (Matemática) do ITA 2018

Matemática · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
\vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\det A : determinante da matriz A
\mathrm{d}(A, B) : distância do ponto A ao ponto B
\mathrm{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B
\hat{A} : medida do ângulo do vértice A
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}
]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
(f \circ g)(x) = f(g(x))
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}
\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n, sendo n inteiro não negativo

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Os triângulos equiláteros ABC e ABD têm lado comum \overline{AB}. Seja M o ponto médio de \overline{AB} e N o ponto médio de \overline{CD}. Se MN = CN = 2\text{ cm}, então a altura relativa ao lado \overline{CD} do triângulo ACD mede, em cm,

  1. A
    \frac{\sqrt{60}}{3}.
  2. B
    \frac{\sqrt{50}}{3}.
  3. C
    \frac{\sqrt{40}}{3}.
  4. D
    \frac{\sqrt{30}}{3}.
  5. E
    \frac{2\sqrt{6}}{3}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Os triângulos ABC e ABD são equiláteros e compartilham AB. Logo CM e DM são alturas, com CM = DM = \frac{\ell\sqrt{3}}{2}, e M é o ponto médio de AB. O triângulo CMD é isósceles, e N, ponto médio de CD, é o pé da altura a partir de M. Assim, MN \perp CD.

Como MN = CN = 2, temos CD = 4 e CM = \sqrt{2^2+2^2} = 2\sqrt{2}.

Agora, CM = \frac{\ell\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{2}, então \ell = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} e \ell^2 = \frac{32}{3}.

O triângulo ACD tem AC = AD = \ell e base CD = 4. Ele é isósceles, então a mediana AN é também a altura relativa a CD. Falta calcular AN.

  1. AM = \frac{\ell}{2}, com AM^2 = \frac{\ell^2}{4} = \frac{8}{3}.
  2. AM \perp plano de CMD, pois AB \perp CM e AB \perp DM (os triângulos podem estar em planos diferentes, e AB é perpendicular ao plano CMD). Então AM \perp MN.
  3. No triângulo retângulo AMN: AN^2 = AM^2 + MN^2 = \frac{8}{3} + 4 = \frac{20}{3}.

Portanto AN = \sqrt{\frac{20}{3}} = \frac{\sqrt{60}}{3}.

Conferindo por outro caminho: AN^2 = AC^2 - CN^2 = \frac{32}{3} - 4 = \frac{20}{3}. Confere.

A altura relativa a CD mede \frac{\sqrt{60}}{3} cm.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BValor sem relação com AN^2 = 20/3; vem de erro ao somar os quadrados.
  • CCorresponde a AN^2 = 40/9, resultado de erro no cálculo de AM^2.
  • DCorresponde a AN^2 = 10/3, de erro no cálculo de AM^2 ou de \ell.
  • ECorresponde a AN^2 = 8/3, que é só AM^2, esquecendo de somar MN^2 = 4.

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Fonte: ITA 2018 · Matemática. Prova oficial ↗