Correção ITA 2027 · PortuguêsAcompanhe a resolução de cada questão da 2ª fase, ao vivoAcompanhar

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 16 (Matemática) do ITA 2018

Matemática · Matemática: Pirâmides e tronco de pirâmide

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
\vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\det A : determinante da matriz A
\mathrm{d}(A, B) : distância do ponto A ao ponto B
\mathrm{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B
\hat{A} : medida do ângulo do vértice A
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}
]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
(f \circ g)(x) = f(g(x))
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}
\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n, sendo n inteiro não negativo

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Considere a classificação: dois vértices de um paralelepípedo são não adjacentes quando não pertencem à mesma aresta. Um tetraedro é formado por vértices não adjacentes de um paralelepípedo de arestas 3\text{ cm}, 4\text{ cm} e 5\text{ cm}. Se o tetraedro tem suas arestas opostas de mesmo comprimento, então o volume do tetraedro é, em \text{cm}^3:

  1. A
    10.
  2. B
    12.
  3. C
    15.
  4. D
    20.
  5. E
    30.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Num paralelepípedo (aqui, pelas arestas dadas, vamos usar o retângulo 3\times4\times5), os vértices não adjacentes de um tetraedro são os quatro vértices em que cada um não divide aresta com outro. Eles são alternados: de cada face, pegamos uma diagonal. Todas as arestas do tetraedro são, então, diagonais de faces.

As arestas opostas desse tetraedro são diagonais de faces opostas, que têm o mesmo comprimento. Por isso a condição das arestas opostas iguais vale automaticamente no paralelepípedo reto-retângulo.

Volume do tetraedro: é o volume do paralelepípedo menos 4 cantos cortados. Cada canto é um tetraedro com três arestas perpendiculares de medidas 3, 4 e 5, com volume:

V_{canto}=\frac{1}{6}\cdot 3\cdot 4\cdot 5=10

O volume do paralelepípedo é:

V=3\cdot4\cdot5=60

Logo:

V_{tetraedro}=60-4\cdot 10=20\ \text{cm}^3

O volume do tetraedro é, portanto, um terço do volume do paralelepípedo, \frac{60}{3}=20.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACalcula só o volume de um dos cantos cortados, \frac{1}{6}\cdot 60.
  • BNão corresponde a nenhuma etapa correta; erra ao subtrair os cantos.
  • CUsa \frac{1}{4} do volume do paralelepípedo, sem considerar os cantos cortados.
  • EUsa metade do volume do paralelepípedo, valor sem justificativa geométrica.

Assuntos: Pirâmides e tronco de pirâmide, Prismas e paralelepípedos.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 16 no caderno Matemática do ITA 2018

Fonte: ITA 2018 · Matemática. Prova oficial ↗