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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 (Matemática) do ITA 2018

Matemática · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
\vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\det A : determinante da matriz A
\mathrm{d}(A, B) : distância do ponto A ao ponto B
\mathrm{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B
\hat{A} : medida do ângulo do vértice A
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}
]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
(f \circ g)(x) = f(g(x))
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}
\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n, sendo n inteiro não negativo

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Considere a matriz \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ -1 & 3 & 4 & 5 \\ -2 & 2 & 1 & 1 \end{bmatrix}, x \in \mathbb{R}. Se o polinômio p(x) é dado por p(x) = \det A, então o produto das raízes de p(x) é

  1. A
    \frac{1}{2}.
  2. B
    \frac{1}{3}.
  3. C
    \frac{1}{5}.
  4. D
    \frac{1}{7}.
  5. E
    \frac{1}{11}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

O enunciado chegou com a matriz incompleta: aparecem só 3 linhas por 4 colunas, e a variável x não aparece em nenhuma entrada. Assim, \det A não está definido e não dá para calcular o polinômio p(x) com os dados recebidos.\n\nO método que a questão pede é este:\n\n1. Desenvolver \det A por Laplace ou por Sarrus, obtendo p(x)=a_nx^n+\dots+a_0.\n2. Aplicar as relações de Girard: o produto das raízes é (-1)^n\dfrac{a_0}{a_n}.\n\nSem a matriz original, não consegui fazer essas contas. A letra abaixo é um palpite, sem verificação.\n\nAlternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão verificada: a matriz do enunciado está incompleta, então não foi possível calcular o produto das raízes.
  • BNão verificada: a matriz do enunciado está incompleta, então não foi possível calcular o produto das raízes.
  • CNão verificada: a matriz do enunciado está incompleta, então não foi possível calcular o produto das raízes.
  • ENão verificada: a matriz do enunciado está incompleta, então não foi possível calcular o produto das raízes.

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Matrizes e determinantes.

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Fonte: ITA 2018 · Matemática. Prova oficial ↗