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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 (Matemática) do ITA 2018

Matemática · Matemática: Sistemas lineares

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
\vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\det A : determinante da matriz A
\mathrm{d}(A, B) : distância do ponto A ao ponto B
\mathrm{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B
\hat{A} : medida do ângulo do vértice A
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}
]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
(f \circ g)(x) = f(g(x))
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}
\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n, sendo n inteiro não negativo

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Se o sistema \begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2a^2y + (2a^4 - a)z = 0 \\ x + ay + (a^3 - 1)z = 0 \end{cases} admite infinitas soluções, então os possíveis valores do parâmetro a são

  1. A
    0, -1, \dfrac{-1 - \sqrt{3}}{2}, \dfrac{-1 + \sqrt{3}}{2}.
  2. B
    0, -1, \dfrac{1 - \sqrt{3}}{2}, \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}.
  3. C
    0, -1, \dfrac{-1 + \sqrt{3}}{2}, \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}.
  4. D
    0, -1, -1 - \sqrt{3}, -1 + \sqrt{3}.
  5. E
    0, -1, 1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Um sistema linear homogêneo 3×3 admite infinitas soluções quando o determinante da matriz dos coeficientes é zero (além da solução nula, existem outras).

Matriz:

\begin{vmatrix}1&1&1\\0&2a^2&2a^4-a\\1&a&a^3-1\end{vmatrix}=0

  1. Subtraindo a linha 1 da linha 3: L_3 \to (0,\ a-1,\ a^3-2).
  2. Expandindo pela primeira coluna, o determinante fica
    2a^2(a^3-2)-(2a^4-a)(a-1).
  3. Desenvolvendo: 2a^5-4a^2-(2a^5-2a^4-a^2+a)=2a^4-3a^2-a.
  4. Fatorando: a(2a^3-3a-1)=0.
  5. Procurando raiz de 2a^3-3a-1: para a=-1, -2+3-1=0. Dividindo por (a+1): 2a^3-3a-1=(a+1)(2a^2-2a-1).
  6. Resolvendo 2a^2-2a-1=0: a=\dfrac{2\pm\sqrt{4+8}}{4}=\dfrac{1\pm\sqrt3}{2}.

Logo, os valores são 0, -1, \dfrac{1-\sqrt3}{2} e \dfrac{1+\sqrt3}{2}.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ATraz raízes de 2a^2+2a-1=0, com sinal trocado no termo linear.
  • CMistura uma raiz de cada sinal, que não correspondem à equação 2a^2-2a-1=0.
  • DEsquece de dividir por 2 na fórmula de Bhaskara.
  • ETambém não divide por 2 (a=1\pm\sqrt3 não anula o determinante).

Assuntos: Sistemas lineares, Equações polinomiais e relações de Girard.

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Fonte: ITA 2018 · Matemática. Prova oficial ↗