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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 13 (Matemática) do ITA 2018

Matemática · Matemática: Matrizes e determinantes

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
\vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\det A : determinante da matriz A
\mathrm{d}(A, B) : distância do ponto A ao ponto B
\mathrm{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B
\hat{A} : medida do ângulo do vértice A
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}
]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
(f \circ g)(x) = f(g(x))
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}
\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n, sendo n inteiro não negativo

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Sejam A e B matrizes quadradas n \times n tais que A + B = A \cdot B e I_n a matriz identidade n \times n. Das afirmações:

I. I_n - B é inversível;
II. I_n - A é inversível;
III. A \cdot B = B \cdot A.

é (são) verdadeira(s)

  1. A
    Somente I.
  2. B
    Somente II.
  3. C
    Somente III.
  4. D
    Somente I e II.
  5. E
    Todas.
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Resolução comentada

A ideia é fatorar a condição A+B=AB como um produto de matrizes que dá a identidade.

Passando tudo para um lado: AB - A - B = 0. Somando I_n aos dois lados:

AB - A - B + I_n = I_n

O lado esquerdo fatora-se assim:

(A - I_n)(B - I_n) = AB - A - B + I_n = I_n
  1. Como (A-I_n)(B-I_n)=I_n, a matriz A-I_n tem inversa B-I_n (para matrizes quadradas, uma inversa à direita já é inversa dos dois lados).
  2. Logo B-I_n também é inversível, e a inversa dela é A-I_n. Então (B-I_n)(A-I_n)=I_n também vale.
  3. Multiplicar uma matriz por -1 não muda a inversibilidade, então I_n-B=-(B-I_n) e I_n-A=-(A-I_n) são inversíveis. Assim I e II são verdadeiras.
  4. Do item 2: (B-I_n)(A-I_n)=BA-B-A+I_n=I_n, ou seja, BA=A+B. Como AB=A+B também, temos AB=BA. Assim III é verdadeira.

As três afirmações são verdadeiras.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora que A-I_n também é inversível e que AB=BA; as três valem.
  • BEsquece que I_n-B também é inversível, pela mesma fatoração.
  • CA comutatividade é verdadeira, mas I e II também são.
  • DDeixa de fora III, que decorre de (B-I_n)(A-I_n)=I_n.

Assunto: Matrizes e determinantes.

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Fonte: ITA 2018 · Matemática. Prova oficial ↗