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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 11 (Matemática) do ITA 2018

Matemática · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
\vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\det A : determinante da matriz A
\mathrm{d}(A, B) : distância do ponto A ao ponto B
\mathrm{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B
\hat{A} : medida do ângulo do vértice A
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}
]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
(f \circ g)(x) = f(g(x))
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}
\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n, sendo n inteiro não negativo

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Em um triângulo de vértices A, B e C são dados \hat{B} = \pi/2, \hat{C} = \pi/3 e o lado BC = 1\text{ cm}. Se o lado \overline{AB} é o diâmetro de uma circunferência, então a área da parte do triângulo ABC externa à circunferência, em \text{cm}^2, é

  1. A
    \dfrac{\pi}{8} - \dfrac{3\sqrt{3}}{16}.
  2. B
    \dfrac{5\sqrt{3}}{4} - \dfrac{\pi}{2}.
  3. C
    \dfrac{5\pi}{8} - \dfrac{3\sqrt{3}}{4}.
  4. D
    \dfrac{5\sqrt{3}}{16} - \dfrac{\pi}{8}.
  5. E
    \dfrac{5\pi}{8} - \dfrac{3\sqrt{3}}{16}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Triângulo retângulo em B, com BC=1 e \hat C=60^\circ. Então AB = BC\cdot\tg 60^\circ=\sqrt{3} e AC=2.

Área do triângulo: \dfrac{1\cdot\sqrt3}{2}=\dfrac{\sqrt3}{2}.

A circunferência tem diâmetro AB=\sqrt3, então raio r=\dfrac{\sqrt3}{2} e centro O, ponto médio de AB. Como \hat B=90^\circ, BC é perpendicular ao diâmetro em B, logo tangente à circunferência em B.

A circunferência corta a hipotenusa AC em um ponto D, além de A. Como AB é diâmetro, \hat{ADB}=90^\circ, ou seja, BD\perp AC.

A parte interna ao triângulo é formada pelo triângulo ABD mais o segmento circular sobre a corda BD (do lado de BD voltado a C)... mais simples: a parte do círculo dentro do triângulo é o semicírculo do lado de C, cortado por AD.

Calculando: \hat A=30^\circ, então no triângulo isósceles OAD o ângulo central \hat{AOD}=120^\circ e \hat{DOB}=60^\circ.

Região do círculo dentro do triângulo = setor DOB + triângulo AOD:

  1. Setor de 60^\circ: \dfrac{1}{6}\pi r^2=\dfrac{1}{6}\pi\cdot\dfrac34=\dfrac{\pi}{8}.
  2. Triângulo AOD: \dfrac12 r^2\sen120^\circ=\dfrac12\cdot\dfrac34\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{3\sqrt3}{16}.

Área interna: \dfrac{\pi}{8}+\dfrac{3\sqrt3}{16}.

Área externa:

\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{3\sqrt3}{16}=\dfrac{8\sqrt3-3\sqrt3}{16}-\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{5\sqrt3}{16}-\dfrac{\pi}{8}.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ADá a diferença entre setor e triângulo, sem relação com a área externa pedida.
  • BValor de área grande demais, incompatível com a área total do triângulo (\sqrt3/2).
  • CMistura \pi com termos que excedem a área do triângulo; não vem de nenhuma subtração correta.
  • EValor maior que a área do triângulo, impossível para a parte externa.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Áreas e perímetros de polígonos, Trigonometria no triângulo retângulo.

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Fonte: ITA 2018 · Matemática. Prova oficial ↗