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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 10 (Matemática) do ITA 2018

Matemática · Matemática: Números complexos

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
\vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\det A : determinante da matriz A
\mathrm{d}(A, B) : distância do ponto A ao ponto B
\mathrm{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B
\hat{A} : medida do ângulo do vértice A
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}
]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
(f \circ g)(x) = f(g(x))
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}
\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n, sendo n inteiro não negativo

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

O lugar geométrico das soluções da equação x^2 + bx + 1 = 0, quando |b| < 2, b \in \mathbb{R}, é representado no plano complexo por

  1. A
    dois pontos.
  2. B
    um segmento de reta.
  3. C
    uma circunferência menos dois pontos.
  4. D
    uma circunferência menos um ponto.
  5. E
    uma circunferência.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Para |b|<2, o discriminante é \Delta = b^2-4<0, então as raízes são complexas não reais e conjugadas:

x=\frac{-b\pm i\sqrt{4-b^2}}{2}

  1. Parte real: \dfrac{-b}{2}. Parte imaginária: \pm\dfrac{\sqrt{4-b^2}}{2}.

  2. Módulo ao quadrado: \dfrac{b^2}{4}+\dfrac{4-b^2}{4}=1. Logo |x|=1 e os pontos estão na circunferência unitária. Isso também sai do produto das raízes: x\cdot\bar{x}=|x|^2=1.

  3. Quais pontos da circunferência aparecem? A parte real é -b/2, que varia em ]-1,1[, pois |b|<2. Para cada valor de parte real em ]-1,1[ obtemos os dois pontos com parte imaginária positiva e negativa, cobrindo toda a circunferência exceto os pontos de parte real \pm1.

  4. Os pontos de parte real 1 e -1 são x=1 e x=-1, que correspondem a b=\mp2, excluídos (e nesses casos a raiz seria real, não de parte imaginária não nula).

Portanto o lugar geométrico é a circunferência unitária menos os pontos 1 e -1, isto é, menos dois pontos.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa E engana quem para em |x|=1 e esquece de checar quais pontos da circunferência são realmente atingidos, pois |b|<2 é desigualdade estrita.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ADois pontos seriam só para um valor fixo de b; aqui b varia e as raízes percorrem um conjunto infinito.
  • BAs raízes têm módulo 1, ficam em uma curva, não em um segmento de reta.
  • DExclui apenas um ponto, mas tanto 1 quanto -1 ficam de fora.
  • EInclui 1 e -1, que só ocorreriam com |b|=2, valor excluído.

Assuntos: Números complexos, Equação do 2º grau.

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Fonte: ITA 2018 · Matemática. Prova oficial ↗