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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 12 (Matemática) do ITA 2018

Matemática · Matemática: Equações e inequações trigonométricas

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática
\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{N} : conjunto dos números naturais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária: i^2 = -1
\vert z \vert : módulo do número z \in \mathbb{C}
\det A : determinante da matriz A
\mathrm{d}(A, B) : distância do ponto A ao ponto B
\mathrm{d}(P, r) : distância do ponto P à reta r
\overline{AB} : segmento de extremidades nos pontos A e B
\hat{A} : medida do ângulo do vértice A
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}
[a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a \le x < b\}
]a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \le b\}
]a, b[ = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}
(f \circ g)(x) = f(g(x))
X \setminus Y = \{x \in X \text{ e } x \notin Y\}
\displaystyle\sum_{k=0}^{n} a_k = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots + a_n, sendo n inteiro não negativo

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Com relação à equação \frac{\tg^3 x - 3\tg x}{1 - 3\tg^2 x} + 1 = 0, podemos afirmar que

  1. A
    no intervalo \left] -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right[ a soma das soluções é igual a 0.
  2. B
    no intervalo \left] -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right[ a soma das soluções é maior que 0.
  3. C
    a equação admite apenas uma solução real.
  4. D
    existe uma única solução no intervalo \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right].
  5. E
    existem duas soluções no intervalo \left] -\frac{\pi}{2}, 0 \right].
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

A expressão lembra a fórmula da tangente do arco triplo: \tg 3x = \dfrac{3\tg x - \tg^3 x}{1 - 3\tg^2 x}. No enunciado o numerador está com sinal trocado: \tg^3 x - 3\tg x = -(3\tg x - \tg^3 x). Logo a expressão vale -\tg 3x.

A equação fica:

  1. -\tg 3x + 1 = 0, ou seja, \tg 3x = 1.
  2. 3x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi, então x = \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{k\pi}{3}, com k \in \mathbb{Z}.

É preciso que \tg x exista (x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi) e que 1 - 3\tg^2 x \neq 0, ou seja, x \neq \pm\frac{\pi}{6} + n\pi. Essas restrições só excluem x em que \tg 3x não está definida ou o denominador se anula. Os valores x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{3} não são \pm\frac{\pi}{6} nem \frac{\pi}{2} (mod \pi), então todos servem.

Em \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[:

  • k=0: x=\frac{\pi}{12}
  • k=1: x=\frac{5\pi}{12}
  • k=-1: x=-\frac{\pi}{4}
  • k=-2: x=-\frac{7\pi}{12}, fora do intervalo.
  • k=2: x=\frac{3\pi}{4}, fora do intervalo.

Soluções: \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, -\frac{\pi}{4}. Soma: \frac{\pi+5\pi-3\pi}{12}=\frac{\pi}{4}>0.

Conferindo as demais: há infinitas soluções reais (C falsa); em \left[0,\frac{\pi}{2}\right] há duas (D falsa); em \left]-\frac{\pi}{2},0\right] há só uma (E falsa).

Alternativa B.

Pegadinha: O numerador está com sinal trocado em relação à fórmula de \tg 3x; quem ignora isso resolve \tg 3x=-1 e erra as soluções (cairia na A).

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AA soma das soluções no intervalo é \pi/4, não 0.
  • CComo a tangente é periódica, há infinitas soluções reais.
  • DEm [0,\pi/2] há duas soluções: \pi/12 e 5\pi/12.
  • EEm ]-\pi/2,0] só existe -\pi/4.

Assuntos: Equações e inequações trigonométricas, Identidades, adição de arcos e arco duplo.

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Fonte: ITA 2018 · Matemática. Prova oficial ↗