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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Matemática) do ITA 2017

Matemática · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária i^2 = -1
\det M : determinante da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
MN : produto das matrizes M e N
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Considere a reta r: y = 2x. Seja A = (3, 3) o vértice de um quadrado ABCD, cuja diagonal \overline{BD} está contida em r. A área deste quadrado é

  1. A
    \dfrac{9}{5}.
  2. B
    \dfrac{12}{5}.
  3. C
    \dfrac{18}{5}.
  4. D
    \dfrac{21}{5}.
  5. E
    \dfrac{24}{5}.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Num quadrado, as diagonais se cortam no centro e são perpendiculares. Além disso, a distância do vértice A à diagonal BD é metade da outra diagonal AC, ou seja, é a metade da diagonal do quadrado.

  1. Distância de A=(3,3) à reta r: 2x - y = 0:
d=\frac{|2\cdot 3-3|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{3}{\sqrt5}
  1. Essa distância é a metade da diagonal AC (o centro M do quadrado está em r e AM \perp r). Então a diagonal mede:
D = 2d = \frac{6}{\sqrt5}
  1. A área de um quadrado de diagonal D é \dfrac{D^2}{2}:
\text{Área}=\frac{1}{2}\cdot\frac{36}{5}=\frac{18}{5}

Conferindo pelo lado: \ell = D/\sqrt2, logo \ell^2 = \dfrac{36/5}{2}=\dfrac{18}{5}. Confere.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa A engana quem toma d^2=9/5 como área, esquecendo que a distância de A à reta é apenas metade da diagonal.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa d^2=9/5 como se fosse a área, esquecendo que d é só metade da diagonal.
  • BValor sem relação com a fórmula correta; erro de conta ao tratar a diagonal.
  • DValor sem justificativa; não resulta de D^2/2 com D=2d.
  • EValor sem justificativa; não corresponde a D^2/2 com D=6/\sqrt5.

Assuntos: Ponto e reta no plano cartesiano, Áreas e perímetros de polígonos.

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Fonte: ITA 2017 · Matemática. Prova oficial ↗