Questão 4 (Matemática) do ITA 2017

Seja 2x = \theta, com \sen\theta = \frac{3}{5}. Como x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right], o arco \theta = \operatorname{arcsen}\left(\frac{3}{5}\right) está no primeiro quadrante, então \cos\theta > 0.

1. Cosseno de \theta: \cos\theta = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}.

2. Use a fórmula do arco metade, \tg\frac{\theta}{2} = \frac{\sen\theta}{1 + \cos\theta}:

Conferência pela equação do segundo grau: com t = \tg x, \sen 2x = \frac{2t}{1+t^2} = \frac{3}{5} leva a 3t^2 - 10t + 3 = 0, com raízes t = 3 e t = \frac{1}{3}. A raiz t = 3 corresponde a x \approx 71{,}6^\circ, que daria 2x no segundo quadrante, com cosseno negativo. Isso contradiz \operatorname{arcsen}\left(\frac{3}{5}\right) \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]. Assim, só t = \frac{1}{3} serve, e o valor é único.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa E engana: \tg x = 3 também satisfaz \sen 2x = 3/5, mas exige 2x no segundo quadrante, e o arcsen só devolve ângulos no primeiro.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem base nas relações trigonométricas; não resulta de nenhuma conta correta.
• CSeria \tg x = 1/2, que daria \sen 2x = 4/5, e não 3/5.
• DSeria \tg x = 2, que daria \sen 2x = 4/5 também; não corresponde a 3/5.
• EÉ a outra raiz de 3t^2-10t+3=0, mas corresponde a 2x no segundo quadrante, fora do arco do arcsen.

Assunto: Identidades, adição de arcos e arco duplo.

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