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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Matemática) do ITA 2017

Matemática · Matemática: Sistemas lineares

Texto-base das questões 01 a 20 · Matemática

\mathbb{R} : conjunto dos números reais
\mathbb{C} : conjunto dos números complexos
i : unidade imaginária i^2 = -1
\det M : determinante da matriz M
M^{-1} : inversa da matriz M
MN : produto das matrizes M e N
\overline{AB} : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \le x \le b\}

Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são os cartesianos retangulares.

Considere o sistema de equações

S \begin{cases} \dfrac{1}{x} + \dfrac{27}{y^2} + \dfrac{8}{z^3} = 3 \\ \dfrac{4}{x} + \dfrac{81}{y^2} + \dfrac{40}{z^3} = 10 \\ \dfrac{2}{x} + \dfrac{54}{y^2} + \dfrac{24}{z^3} = 7 \end{cases}\ .

Se (x, y, z) é uma solução real de S, então |x| + |y| + |z| é igual a

  1. A
    0.
  2. B
    3.
  3. C
    6.
  4. D
    9.
  5. E
    12.
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
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Resolução comentada

Troque as incógnitas por a=\frac1x, b=\frac{27}{y^2} e c=\frac{8}{z^3}. O sistema fica linear:

  1. a+b+c=3
  2. 4a+3b+5c=10 (pois 81=3\cdot 27 e 40=5\cdot 8)
  3. 2a+2b+3c=7 (pois 54=2\cdot 27 e 24=3\cdot 8)

Com b=\frac{27}{y^2}, a segunda equação é 4a+3b+5c=10 e a terceira é 2a+2b+3c=7.

Da terceira menos 2 vezes a primeira: 2a+2b+3c-(2a+2b+2c)=7-6, logo c=1.

Substituindo c=1 na primeira: a+b=2.
Na segunda: 4a+3b=5.

De b=2-a: 4a+6-3a=5, logo a=-1 e b=3.

Voltando às incógnitas originais:

  • \frac1x=-1, então x=-1.
  • \frac{27}{y^2}=3, então y^2=9 e y=\pm3.
  • \frac{8}{z^3}=1, então z^3=8 e z=2.

Assim, |x|+|y|+|z|=1+3+2=6 para qualquer sinal de y.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AIgnora o módulo ou erra os sinais; a soma dos módulos nunca é zero aqui.
  • BResultado que não corresponde a 1+3+2; provável erro ao resolver z^3=8 ou y^2=9.
  • DValor incompatível com |x|=1, |y|=3, |z|=2; vem de erro na solução do sistema linear.
  • ESuperestima os valores, por exemplo tomando z=8 em vez de 2 ou errando x.

Assuntos: Sistemas lineares, Potenciação e radiciação.

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Fonte: ITA 2017 · Matemática. Prova oficial ↗